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考研——线性代数

这是一篇关于考研线性代数的思维导图，主要内容包括：基础，全部考点。由姜晓千老师的讲义编写。有需要的同学，可以收藏下哟。

编辑于2025-04-12 11:25:21

线性代数

南沐

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线性代数

基础

行列式

行列式的概念

定义

逆序数：大数在小数前面

n!项不同行不同列元素乘积的代数和

性质

1. 行列互换，值不变

2. 两行互换，行列式变号

3. 提某行或列的公因子

4. 拆行分配

5. 一行乘k加到另一行，值不变

6. 两行成比例，行列式为零

重要行列式

主对角行列式

副对角行列式

n阶ab型

拉普拉斯展开式

范德蒙行列式

一次那一行，后面依次前面，相乘，总共（n-1）n/2项

展开定理

Mij余子式：划去aij所在的那一列行，剩余的n-1阶行列式称为aij的余子式

Aij代数余子式：（-1）i+j*Mij

展开定理

ai1Aj1+ai2Aj2+...ainAjn=

|A|,i=j

0 ,i≠j

行列式的公式

行列式的求法

数字行列式，利用重要行列式或展开定理

抽象行列式，利用行列式的性质或公式

Cramer法则

线性方程组的唯一解为

推论

齐次方程组

只有零解←→D≠0

有非零解←→D=0

非齐次方程组

有唯一解←→D≠0

有无穷解←→D=0

矩阵

基本运算

+、k、×、T

+加法

一对一相加（二者为同型矩阵）

k数乘

每一个数都乘以k

AB乘法

A为m×n，B为n×s，C=AB，C为m×s（A的列阶与B的行阶必须相等）

乘法满足结合律、分配律，不满足交换律

乘法不满足消去律

消去律成立的充分条件

A为可逆矩阵，AB=AC→B=C

A为列满秩矩阵，AB=AC→B=C

A为行满秩矩阵，BA=CA→B=C

本质上是，左乘列满秩，右称行满秩，秩不变

T转置

行列互换

转置的性质

逆

定义(A是n阶方阵)

AB=E←→B=A-1（谁×框框等于E，谁就是框框的逆）

逆的性质

可逆的充要条件

|A|≠0

r(A)=n

A的列向量组线性无关

齐次方程组Ax=0只有零解

非齐次方程组Ax=b有唯一解

A的特征值均不为零

就是秩为n，都一回事

逆的求法

用定义求

AB=E

初等变换法

（A | E）→（E | A-1）

伴随矩阵法

分块矩阵法

秩

定义r(A)

k阶子式：在矩阵A中任取k行k列，位于交叉点上的可k2个元素所组成的k阶行列式

秩的定义：矩阵A中有个r阶子式非零，且所有的r+1阶子式均为零，则称 r 为A的秩

A≠0←→ r(A)≥1

性质（A为m×n阶矩阵）

1. r(A) ≤ min{m，n}

秩小于等于行数和列数

2. r(A+B) ≤ r(A)+r(B)

和差的秩小于等于秩的和

3. r(AB) ≤ min{r(A)，r(B)}

乘积的秩小于等于每一个

4. max{r(A)，r(B)} ≤ r(A|B) ≤ r(A)+r(B)

联立的秩大于等于每一个，小于等于秩的和

5. r(A)=r(kA)

乘非零常数秩不变

6. Pm阶,Q为n阶可逆矩阵，r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

乘可逆矩阵秩不变

7. 若r(A)=n，则r(AB)=r(B),若r(A)=m，则r(CA)=r(C)

左乘列满秩，右乘行满秩，秩不变

8. r(A)=r(AT)=r(AT A)=r(A AT)

成自身转置秩不变

9. A为m×n，B为n×s，满足AB=0，则r(A)+r(B)≤n

乘积为0，秩的和小于等于n

秩的求法

A为数字矩阵，用初等行变换，化为行阶阶梯型，r(A)=非零行的行数

A为抽象矩阵，用秩的性质与定义

伴随矩阵

定义A*

设A=(aij)，由a的代数余子式Aij构成的矩阵，如右图

需要注意的是，伴随矩阵是横的a对应竖的A

伴随矩阵的性质

初等变换与初等矩阵

变换的定义

1. 两行(列)互换 → E(i,j)

2. 一行(列)乘非零常数k → E(i(k))

3. 一行(列)乘k加到另一行(列) → E(ij(k)) 第j行乘k加到第i行

矩阵的定义

单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵

初等变换与初等矩阵的性质

E(i,j)-1=E(i,j)，E(i(k))-1=E(i(1/k)),E(ij(k))-1=E(ij(-k))

初等行(列)变换相当于左 (右)乘对应的初等矩阵

可逆矩阵可以写成有限个初等矩阵的乘积

应用

初等变换求逆（可逆矩阵与单位矩阵等价）

初等变换求秩（初等变换不改变秩）

初等行变换求列向量组的极大无关组，并线性表示其他向量（行变换不改变列向量组的线性关系）

初等行变换不改变方程组的解（初等行变换不改变线性方程组的解）

矩阵等价

定义：矩阵A可经过有限次初等变换得到B，则A、B等价

充要条件（A，B均为m×n阶矩阵且等价）

存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使得B=PAQ

r(A)=r(B)

分块矩阵

+、k、X、| |、T、-1、*

+、k与一般矩阵一样

X乘法，AB=C A列B行，分块方法相同

A为m×n阶，B为n×s阶

将A按列分块，得 AB=(b11α1+b21α2+...+bn1αn ,......b1sα1+b2sα2+...+bnsαn)

将B按列分块，得 AB=(Aβ1 ,Aβ2 ,......Aβs)

| |行列式，见拉普拉斯

T转置

先将A整体进行转置，再将其中的每一块进行转置

-1逆

A、B均为可逆矩阵，则

* A* = |A|A-1

向量

基本运算

定义

+、k不变

内积

αTβ=a1b1+a2b2+...+anbn ,记作[α，β]

[α，β]=0，称α与β正交

向量长度

，记作||α||，为1，则为单位向量

正交矩阵

定义：A为n阶方阵，且AAT=E

充要条件

A-1=AT

A的列(行)向量组为单位正交的向量组（每个向量长度为1，与其他向量内积为0）

性质

|A|=±1

A,B为正交矩阵，则-A,AB,AT,A-1,A*均为正交矩阵

Schmidt正交化

线性表示

定义

线性组合: k1α1+k2α2+...+knαn为 α1,α2...αn 的线性组合

线性表示：β=k1α1+k2α2+...+knαn

向量组等价：两个向量组可以相互线性表示

线性表示的充要条件

非齐次（α1,α2...,αn）(x1,x2...xn)T=β 有解

r(α1,α2...,αn）= r(α1,α2...,αn | β）

线性表示的充分条件

向量组α1,α2...,αn线性无关，向量组α1,α2...,αn ,β线性相关,则β可被唯一地线性表示

求法

对(α1,α2...,αn | β）进行初等行变换，化为行最简形(每一行第一个非零数为1,且1的上下方都是0)矩阵，解得线性表示的系数

拓展

n个n维列向量线性无关，则所有的n维列向量均可尤其线性表示