《大学物理》刚体的定轴转动 角动量守恒定理

将《大学物理》的刚体的定轴转动，以及角动量守恒等内容进行了完整的知识整合，并总结了这一章内容的重要公式。

《大学物理》 刚体的定轴转动 角动量守恒定理

5.0 刚体的初步认识

1.刚体

定义

在外力作用下，物体的形状和大小均不改变——物体内部任意两点距离保持不变的物体

说明

a.是理想化的物理模型

b.可看作是无数相对位置不变的质点组成的物体

c.如果研究对象的形变可忽略，则可认为此物体为刚体

2.平动

定义

任意两点连线在运动过程中初连线与末连线保持平行的运动

推论

平动刚体各点的运动状态一致，v、a均相同——可以用质点的概念和方法研究

3.转动

定义

刚体各点绕同一转轴做圆周运动

4.定轴转动

定义

转轴的位置和方向不变的转动

特点

各点做圆周运动，与轴垂直的圆面为运动平面

5.1 刚体定轴转动的描述

1.角坐标

定义

在转动平面上，一点到原点的连线与参考方向的夹角（如图角）

单位

rad

刚体绕定轴转轴的运动学方程

（角坐标随运动时间的变化）

2.角位移

定义

在一段时间内角坐标的改变量称为角位移

单位

rad

可用标量表示

方向

顺时针旋转，为正

逆时针旋转，为负

3.角速度

定义

用来表示刚体转动快慢的物理量

单位

rad/s

平均角速度

瞬时角速度（也称角速度）

也可用标量表示

方向（习惯约定）

顺时针旋转，为正

逆时针旋转，为负

右手螺旋方向

4.角加速度

定义

表示刚体转动状态变化快慢的物理量

单位

rad/s²

平均角速度

瞬时角加速度（也称角加速度）

方向

正负与dω相同

注：不可单凭角加速度判断转动加速或减速——

5.角量与线量之间的关系

6.匀变速转动公式（刚体绕定轴匀速运动）

刚体内力矩之和为零（牛顿第三定律）

与质点匀变速直线运动公式类似

5.2 力矩、转动惯量、转动定律

1.力矩

定义

表示力对刚体的转动作用的物理量

定义式

单位

N·m

大小

力在转动平面上

力不在转动平面上

方向

右手螺旋法则，四指指向r矢量方向，向F方向旋转，大拇指的指向为力矩方向

特性

合力矩=各分力矩矢量和

2.质点的转动惯量

推导

设单个质点与转轴连接：F=ma，M=Fr，a=rα ⇒ M=mr²α

定义

J=mr²，J为转动惯量

3.刚体的转动惯量

刚体对某个定轴的转动惯量

定义

转动惯量等于组成刚体的各质点的质量与其各自到转轴的距离平方的乘积的代数和

定义式

质量连续分布的刚体的转动惯量

定义

转动惯量等于质量元到转轴距离的平方对质元质量的积分

定义式

dm=ρdV

单位

kg · m² （千克 · 米² ）

转动惯量大小决定因素

质量相对于转轴的分布

意义

转动惯性的量度

说明

a.转动惯量是对某一转轴的

b.转动惯量具有可叠加性

c.转动惯量与刚体的质量、质量的分布即转轴的位置有关

4.转动定律

定义

刚体定轴的角加速度与其转动惯量成反比，与合外力矩成正比

公式

M=Jα

注

a.M=0⇒α=0,ω不变

b.M与α为瞬时关系（该时刻有M，则此时一定有α，反之则无）

c.M与J一定对同一转轴而言

d.刚体转动(转动定律）：M=Jα=J*(dω/dt)

e.刚体平动（牛顿第二定律）：F=ma=m*(dv/dt)

当刚体有转动且有平动时，两式联立解题

5.3 角动量 角动量定理

1.质点的角动量

定义

质点对定轴的角动量：

单位

kg · m² / s

大小

（sinΘ为r与mv的夹角）

方向

右手螺旋法则

推论

v=ωr,L=rmv ⇒L=mr²ω=Jω

2.刚体的角动量

定义

刚体的角动量=无数质元对转轴角动量的叠加

定义式

=Jω

3.质点角动量定理

推导

a.

b.

内容

a.作用于质点的合外力对参考点O的力矩=质点对该点的角动量随时间的变化率

公式a（微分形式）.

b.对同一参考点O，质点所受的冲量矩=质点角动量的增量

公式b（积分形式）.

4.刚体的角动量定理

内容

a.转动物体角动量的元增量=它所获得的元冲量矩

公式a（微分形式）.

b.刚体所受的冲量矩=刚体角动量的增量

公式b（积分形式）.

5.4 角动量守恒定律

1.质点的角动量守恒定律

推导

当M=0时，角动量变化率为0 ⇒ 角动量保持不变

内容

若质点所受外力对定点O的力矩为0，则质点对O点的角动量保持不变

适用性

宏观物体和微观粒子（电子等）

2.刚体的角动量守恒定律

内容

如果物体所受的合外力矩为零，或者不受外力矩的作用，物体的角动量守恒

适用性

宏观物体和微观粒子（电子等）

如果刚体或粒子系统合外力矩为0，则系统角动量守恒

3.应用

适用条件

a.研究对象合外力矩必须=0

b.所涉及的M、I、ω必须是对同一转轴

步骤

a.判断适用条件是否符合

b.分别计算出始、末的角动量

c.运用定律解方程

主要公式

1.角速度

2.角加速度

3.Θ、ω、α关系式

4.力矩

M=Jα

M=mr²α

M=dL/dt

5.转动惯量

质点：J=mr²

刚体对某个定轴：

质量连续分布的刚体：

6.角动量

质点：

刚体：

7.角动量定理

微分形式：

积分形式：