高数 第一章 函数、极限与连续

考研高数第一章的思维导图，根据各大全书整理

第一章 函数、极限与连续

• 函数（常考选填）
  • 三要素
    • 定义域（无定义情况）
      • 分母不为0
      • 被开偶次方根的数非负
      • 不能取负数或0的对数
    • 值域
    • 对应关系(一个自变量x只能对应唯一y，垂线检验）
  • 定义
  • 几种函数
    • 分段函数
      • 绝对值函数
      • 符号函数(y=sgn x)
      • 取整函数
      • 狄里克雷函数
    • 参数函数，x=x（t),y=y(t)
    • 隐函数，F（x,y)=0
    • 复合函数
    • 基本初等函数
      • 常值函数
      • 幂函数：x^a（a>0，a≠1）
      • 指数函数：a^x（a>0，a≠1）
      • 对数函数:logax（a>0，a≠1）
      • 三角函数：sin，csc；cos，sec；tan，cot
      • 反三角函数
  • 反函数
    • 只有经过垂线检验的函数才有反函数
    • 反函数的反函数就是原始函数（某些情况要限制定义域）
    • 反函数与原函数的图像关于y=x对称
  • 性质
    • 单调性
    • 周期性:f（x+T）=f（x)
    • 奇偶性
      • 奇函数
        • f(-x)=-f(x)
        • f(0)=0
        • 图像关于原点对称
      • 偶函数
        • f(-x)=f(x)
        • 图像关于Y轴对称
    • 有界性（充分条件）
      • 上下界同时存在才有界
      • 连续函数闭区间必有界，开区间求两端极限
      • 有界函数之和、之积均为有界函数
      • 到确定点的极限存在则有界
      • 无穷远处极限存在则有界
      • 极限存在则去心领域内无界
• 极限（选填计算皆有涉及）
  • 极限定义
  • 题型1：极限概念与性质
    • 局部保号性（选填）
    • 极限唯一性（极限若存在，则其必唯一）
  • 题型2：基本功，求极限
    • 函数极限
      • 强行带入，定型定法（七种未定式）
      • 恒等变形（常见于∞-∞型极限，分子、分母有理化；通分约分；没有分母创造分母；倒代换）
      • 极限非零因式提出
      • 等价无穷小（尽量只在乘法使用。加减法慎用，仅当分子分母阶数相同时方可在加减法中使用）
      • 洛必达法则
        • 使用条件
          • 必须是0/0或是∞/∞型极限
          • 分子分母在去心邻域内可导，且分母导数不为0
          • 导数极限存在或为∞
        • 人妖神理论：当x趋于∞时，函数值趋向于∞的快慢——对数函数（人）<幂函数（妖）<指数函数（神）
      • 泰勒公式
        • A/B型，上下同阶展开原则
        • A-B型，幂次最低展开原则
      • 夹逼准则
      • 四则运算
        • 和差
          • 两个函数极限分别存在则和差的极限存在
          • 两个函数极限其一不存在则和差极限不存在
          • 两个函数极限都不存在则和差极限存在一个或者都不存在
        • 积：两个函数极限都存在，积的极限才存在，除此之外都不一定存在
    • 数列极限
      • 放缩，夹逼
      • 单调有界准则
        • 有界性
          • 给出大致范围或范围容易求出的——数学归纳法
          • 给出递推式为分式——提出系数进行放缩
          • 利用初等函数特性进行放缩（当x>0时，e^x>x>lnx）
          • 给出递推式为根式——将根号下式子变为为两个函数乘积形式，用均值不等式进行放缩（即(ab)^0.5≤(a+b)/2)
        • 单调性
          • 作差作商
          • 离散数列连续化成函数，求导
            • 导数>0——一定单调
              • a2>a1，单增
              • a2<a1，单减
            • 导数<0——一定不单调
              • 包含(-1)^n，离散振荡，极限不存在（形如a(n+1)=-an)
              • x^(-n)，归一振荡，极限存在(形如a(n+1)=1/an)
          • 利用初等函数特性进行放缩，将递推式化简成容易寻找出范围的形式（当x>0时，e^x>x>lnx）
          • 数列某项的前后两项经四则运算后呈线性关系，则可递推至数列首项
    • 数列和求极限
      • 夹逼准则（只要分母或者分子有次数不齐，则用夹逼）
      • 定积分定义（若分子齐，分母齐，且分母比分子高一阶则用定积分定义）
        • 步骤一：提出1/n，变换出i/n
        • 步骤二：i/n换成x，1/n换成dx
        • 步骤三：定积分限，由变量i的范围确定
  • 题型3：已知极限求参数/求另一极限
    • 已知极限求参数：洛必达/泰勒。比阶
    • 求另一极限：拼凑出与已知极限的关系，用运算法则计算，有时结合导数定义考察
  • 题型4：无穷小比阶
    • 等价定阶
    • 泰勒定阶
    • 求导定阶
    • 无穷小性质
      • 一般性质
        • 有限个无穷小相加减仍为无穷小（无穷小作和差仍为阶数小的无穷小）
        • 常数乘以无穷小仍为无穷小
        • 有限个无穷小相乘仍为无穷小（无穷小相乘为幂次相加)
        • 有界量乘以无穷小仍为无穷小
        • 若limf(x)=A,则f(x)=A+α，α趋于无穷小
      • 等价性质：传递性；交换律
• 连续与间断
  • 题型1：讨论连续与间断
    • 第一类间断点：左右极限都存在
      • 左极限=右极限≠函数值——可去间断点
      • 左极限≠右极限——跳跃间断点
    • 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在
  • 题型2：求参数
  • 题型3：零点问题（题目与结论中只出现连续函数的零点，不涉及导数）
    • 有界定理——连续函数在闭区间内必有界
    • 零点定理——连续函数在闭区间（开区间）端点值（极限值）乘积小于零，则有零点
    • 介值定理——连续函数在闭区间内任取一点，总能找到一个位于其最大值最小值之间的函数值与之对应