数学分析

自己整理的一部分数学分析的答题知识点，内容有数列极限、函数极限与连续、微分及微分中值定理、不定积分、定积分、反常积分。

数学分析

• 数列极限
  • 初等不等式
    • 三角不等式
      • 和差化积：两sin变杂交 两cos不变 中间的+/-决定后面一项的第二个数是cos/sin
      • 积化和差:相同变cos否变sin 后面一项定乾坤
      • 万能公式tan(x/2)=t
      • 半角公式
    • Σcosnx、Σsinnx求和表达式
    • 柯西不等式
    • 伯努利不等式
    • 平均值不等式
    • 沃利斯公式
      • 证明方法用sinx在（0，π/2）上积分
  • 迫敛性与积分法
    • 直接根据夹逼准则，放缩为最大和最小项的n 倍然后求极限即可；
    • 直接提1/n
    • 不能直接提1/n，则利用等价无穷小猜测积分结果看看在哪里有问题进行放缩一般情况下k 放缩为0 （或1 ）与n
    • 如果在n处有问题 放缩n方法视题目而定
    • 例子：
  • 单调有界原理
    • 定理两条 1:任何数列都有单调子列 2:有界数列必有收敛子列
    • 1、直接观察{an}单调性 再找上下界
    • 2、通过an-an-1或者an/an-1判断单调性 此时常常会用到初等不等式！
    • 3、不等式法 通常有两个数列 常用平均值不等式
    • 4、反证法 涉及到函数列 就记一个例子（通常反证法证单调递增性 得出矛盾 然后根据有下界 得到收敛）
  • 递推问题
    • 构造特征方程求通项公式
    • 压缩映射原理
      • αn+1=f(αn) 先求αn 的范围再对fx 求导找到｜ f’x ｜的最大值
  • 平均值定理（柯西命题）和Stolz 公式
    • Stolz 证明方法（固定N 代入值的方法和例题2.2.21 及例3.1.7 很相似）
    • 平均值定理重要推论常用来解决子列问题！奇子列和偶子列相等判断极限值
  • 分段法和函数形式的平均值定理和Stolz公式
    • “极限=数”，常用拟合法+分段法在某点有问题就找一个足够小的δ将积分分段 然后根据题目常常会给出的在一个点连续（该点也通常为问题点）分成两段<ε+ε（必要的时候需要固定一些数 比如x>M时 有时可能需要固定M 方便放缩）
      • 例：
    • 带反常积分的极限
      • 抠定义 选定x>A的A 例如：
    • 周期函数的极限记一个例子方法是x=nT+b
    • 函数形式的Stolz 公式（可能考原题）
      • 证明方法两种：1、用极限定义放缩 2、参考数列形式的Stolz证明方法
• 函数极限与连续
  • 海涅定理（归结原理）证明不连续
  • 基本计算常用方法
    • 洛必达法则（注意使用范围0/0、•/∞，要在该点处领域可导才可使用 已知一点的导数不能用，此时需要结合导数定义）此外函数极限才有洛必达，对于数列极限先用海涅定理化成函数极限。
      • 常用等价无穷小
    • 泰勒定理 （一元微分学巅峰！！）
  • 连续性的证明（局部性质）
    • 死扣定义，记笔记本上几个例子
    • 函数方程问题经典例题2.4.12
    • 涉及到零点问题——反证法；极限是∞ ——反证法；严格单调——反证法
  • 连续函数介值性定理（三种证明方法）
    • 1 、确界原理方法
    • 2、区间套定理+二分法（最常用）
    • 3、有限覆盖定理+反证法
  • 一致连续抓定义（整体性质）
    • 充要条件（证明不一致连续最常用）
    • 康托定理：闭区间上连续函数一定一致连续（用上述命题结合反证法）
    • 端点法（取定N）
    • 利普西茨条件证明一致连续
      • 推论：导数有界则一致连续（充分条件） 反例 fx=x^1/2 在［0，1］连续从而一致连续 但导数在0附近无界
    • 特别注意 渐近线证明一致连续！！（证明方法用到了四则运算）
    • 周期函数的一致连续性 命题2.5.8
    • 一致连续经典问题（难难难）克服一下啊啊啊啊啊啊啊！
• 微分及微分中值定理
  • 可导性与连续性（可导一定连续，在连续的基础上才能讨论可导性）抓定义证明
    • f(x)=xD(x) 只在x=0处可导
    • 只在某点连续——绝对值
  • 黎曼函数的性质
    • R(x)在（0，1）上任何一点的极限值都为0
    • R(x)在无理点连续，有理点不连续
    • ［0，1］上可积分 且积分值为0
    • 在（0，1）上处处不可微
      • 证明方法：在无理点基础上进一步讨论可微性（一元函数可微性等价于可导性）要讨论可导性 就是看一个极限R(x)-R(x0)/(x-x0)在x->x0时是否存在极限，无理数点所有的R(x0)=0，即证R(x)/(x-x0)的极限不存在，取两个子列，一个无理数列，极限值为0；另外再取一个有理数列，此时要讨论0到1内的有理数，设出来x0=0.a1a2...an...对极限进行放缩，就必须讨论an的在什么时候不为0，设第一个不为0的数为aN，然后对R(x0)和x-x0进行放缩，证明极限值大于0即可。
  • 重要的例子
    • • 连续的可导函数的导函数可能不连续；可积未必有原函数，例如符号函数是不可能作为某个函数的导函数的，即不存在原函数（可能存在第一类间断点，而导函数不会有第一类间断点，如果有的话，那么存在左右极限，根据导数极限定理，在这一点就会连续，从而和存在间断点矛盾），存在原函数也未必可积（原函数可能无界，而可积函数一定有界）
  • 求导计算；构造函数利用求导利用单调性证明不等式；n阶导数计算（注意泰勒展开）
  • 中值定理
    • 费马、拉格朗日、柯西
    • 泰勒定理（一元微分学的巅峰）
      • 证明泰勒定理的方法：在x0存在阶导数，则在该点领域存在n-1阶的导数，前n-1步直接用洛必达即可，最后一步，因为不知道在x0的邻域存在阶导函数，不满足洛必达条件，因此只能使用导数在这一点的定义。
      • 某点存在n阶导数——佩亚诺型余项的泰勒公式：常用于计算函数极限
      • 某个邻域存在n阶导函数——拉格朗日型的泰勒公式：证明中值估计问题
  • 导数两大定理
    • 导数极限定理：前提已知函数在区间I上可导，如果对于任意x0属于I，只要导数在该点极限存在，就一定会等于导数在该点的函数值，即导数一定在该点连续，因此导函数不可能存在第一类间断点，由前面的例子知道导函数是可能存在第二类间断点的。
    • 导函数的介值性定理（达布定理）
      • 证明：构造函数，利用保号性知道导数的最值点在内部取得，内部的最值点即为极值点，结合费马定理知道该点导数值为0。
  • 各类中值问题
    • 构造辅助函数
    • 导函数被原函数控制，原函数恒等于0
    • 二阶导被原函数和一阶导控制，类似于想到数列求通项公式的方法，再构造函数，证明函数单调递减
    • 多个中值点的问题
      • 取不同的函数用两次柯西定理
      • 一个重要结论
      • 两个中值点的问题：存在不同的ξ ,ζ一定是将所给区间划为两段，每一段用一次拉格朗日中值定理，根据这个结论，直接找要什么条件，再构造函数即可。
      • 中值点的极限：带有拉格朗日型余项的泰勒展开
      • 中值等式：K值法（待定系数法）无敌！！！
        • 带有f（a+b/2）的题目可能会用一次罗尔，再利用在x=(a+b)/2的泰勒展开，消去带有f（a+b/2）的项
        • 没有f（a+b/2）的项的话，就不需要泰勒展开，多用一次罗尔定理即可
        • 碰到乘积的形式要将x替换掉；碰到分式要化成多项式。
      • 中值不等式：泰勒展开的天下
        • “存在一点ξ，使得…”——找特殊点，在特殊点（通常是端点、极值点）处展开（没有一阶导数的条件的话，就找一个极值点，在这一点一阶导为0，再在这一点泰勒展开）； “对任意的x，均有…”——必须是函数在x处展开，以具有任意性。
          • 可能会用到导函数的介值性
          • 几个题目
      • 凹凸性与不等式
        • 定义：f[λx1+(1-λ)x2]<λf(x1)+(1-λ)f(x2)
        • 闭区间上的凸函数最大值一定在端点取得（定义证明）
        • 等价条件，第三条最重要
        • 詹森不等式
        • 不等式和零点问题
          • 极值点的条件 二阶导小于0 极大值 ；二阶导小于0 极小值。用泰勒展开推即可
          • 构造函数利用单调性证明不等式
          • 一个重要的例子
• 不定积分
  • 必记积分公式
  • 三角函数积分
    • 分子分母都有sinx cosx 看是否同次幂 同时除cosx化成tanx 或者 将分子化成分母的A倍+B倍分母的导数
    • 万能公式
    • 递推问题：多次分部积分
    • 配对积分法 两个例子
    • 分式问题 1/(x^3+1) 1/(x^4+1) 1/(x^6+1) 的积分
      • 因式分解 ；后两个可以用特殊方法
    • 绝对值和分段问题：先求一个原函数（注意满足连续性），再加常数c即可。
• 定积分
  • 可积性的分割语言 定义 充要条件
    • 可积一定有界 有界不一定可积（狄利克雷积分）
    • 连续一定可积；单调函数一定可积；函数有界且只有有限个间断点 则一定可积
    • 可积性证明：分割区间 分为两类 第一类振幅ω足够小 第二类区间长度Δxi足够小
  • 牛顿—莱布尼茨公式的推广
    • 证明很重要
      • fx可积 Fx连续 且除有限个点以外F'x=fx 则有fx在a到b的积分等于F(a)-F(b)
        • 有限个点设出来 让它们成为分割T的那些分点 因此在每一个区间上Fx连续可导 根据拉格朗日中值定理可证
    • 可积未必有原函数 因为可能会存在第一类间断点 而导数是不会有第一类间断点的；存在原函数未必可积 导数可能无界
  • 微积分学基本定理
    • 函数fx可积，变上限积分连续；函数fx连续，则变上限积分可导；
    • 一个重要例子，不知连续 仅知可积
  • 积分中值定理
    • 不变号的不要动
      • 证明ξ可以在内部取得
    • 单调非负取最大
      • 第三条最常用 不需要非负 只需要满足单调即可
  • 定积分计算
    • 扬哥计算有一套
    • 证明并记住欧拉积分结果（先要说明瑕积分收敛）
    • 几个重要的例子
  • 定积分不等式
    • 整体放缩 关注泰勒展开；一些初等不等式和sinx lnx 有关
    • 一种套路 积分区间是对称的 通过变量替换证明 中心对称 轴对称变换公式
  • 施瓦茨不等式
    • 一般会涉及到平方项的不等式，有时需要结合牛顿—莱布尼茨公式先放缩
    • 几个推论及取等条件
    • 一种特殊方法
      • 二重积分法 证明二重积分里面的函数恒正 则二重积分>0
    • 一些重要的不等式题目
      • 构造函数相乘 一般是（ax+b)fx再利用施瓦茨不等式
  • 牛顿-莱布尼茨公式 不等式放缩一个点和积分的一阶导
  • 条件里面含有导数的界—— 泰勒公式 fx在特殊点展开或者 端点在x处展开 x可以取任意数 有时需要的话代入中点
  • f(x)和f的2n阶导数在积分下的一种联系
  • 需要记住的题目
  • 凹凸性证明不等式—结合詹森不等式
    • 最重要的变换 x=a+λ(b-a) 或者 x=b-λ(b-a)
  • 关于x^k•fx的积分
    • 零点问题已考原题
    • 如果已知x^k•fx 积分值k=1 ，2…那么任意的k 次方的多项式的积分值都可以算出来可以给fx 配一个多项式然后进行放缩
  • 分段积分和黎曼引理
    • 区间分割 让积分和求和相见可以运算 第二个例题要注意条件
• 反常积分
  • 实质是一个变上限积分的极限 极限存在则无穷积分收敛 不存在则发散
  • 比较原则（非负函数）
    • 注意等价无穷量
  • A-D判别法
    • 收敛+单调有界
    • 有界+单调趋于0
  • 柯西准则通常证明不收敛 取一个特殊区间即可
  • 被积函数在∞处的性质