考研高数

考研数学高数部分总结，包括各种题型，内容有函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数、常微分方程、二重积分的知识。

高数

第一章.函数，极限，连续

第二章.一元函数微分学

导数与微分概念

导数

微分

三者间的关系

题型

导数与微分概念

分段函数在分段点处导数一般用定义

判断可导性

几何方法

导数不可导在几何上表示与坐标轴有夹角

用定义判断（左右导数存在且相等）

结论

导数与微分的计算

复合函数

链式法则，由外到内

隐函数

代入求导

公式法F(x,y)=0，dy/dx=–F'(x)/F'( y)

反函数

x=φ(y)，由y=f(x)确定

dx/dy=1/f'( x)

d²x/dy²=–f''/f'³

参数方程

y=f(x)由x=x(t), y=y(t)确定

dy/dx=y'(t)/x'( t)

d²y/dx²=(y"x'–y'x")/x'³

分段函数

分段点处

导数定义

其他点处

求导公式

高阶导数

递推公式(3组)

分式

ln

sin，cos

莱布尼茨公式

泰勒( x=0)

利用8个常见函数的泰勒公式，得到f(x)本身的泰勒公式

由泰勒公式系数的唯一性，知an=f^(n)(0)/n!，得f^(n)(0)=an*n!

导数应用之切线与法线

直角坐标

切线方程

y-y0=(x-x0)f'(x0)

法线方程

y-y0=-(x-x0)/f'(x0)

参数方程

f'(x0)=y'(t)/x'(t)|t-t0

极坐标r=r(θ)

转化为参数方程x=r(θ)*cosθ，y=r(θ)*sinθ

f'(x)=y'(θ)/x'(θ)|θ-θ0

导数应用之渐近线

水平

x→∞limf(x)=c

垂直

x→x0limf(x)=∞，其中x0为分母为零或lnx为零的点

斜

斜率

x→∞lim(y/x)=a

截距

x→∞lim(y-ax)=b

求斜渐进线时快速的方法是把它化成一次形式加高阶无穷小

Tip：若同一侧有水平渐近线，则无斜渐近线

导数应用之曲率

曲率

曲率半径

R=1/k

导数应用之极值与最值

极值点

驻点

导数不存在的点

充分条件1

f(x)在x0连续，一阶导在x0的左右去心邻域异号

充分条件2

一阶导=0，二阶导≠0，则二阶导＞0，极小值；二阶导＜0，极大值

充分条件3

前n-1阶导=0，n阶导≠0（n为偶，＞2），则二阶导＞0，极小值；二阶导＜0，极大值

最值的求法

1.找开区间内的驻点和导数不存在的点

2.找驻点和不存在的点对应的函数值还有区间端点

比较大小即可

导数应用之凹凸性与拐点

必要条件

f(x)在x0二阶可导，且（x0，f(x0)）为拐点，

f(x)在x0处连续，且二阶导数=0

充分条件1

f(x)在x0连续，二阶导在x0的左右去心邻域异号

充分条件2

二阶导=0，三阶导≠0

充分条件3

前n-1阶导=0，n阶导≠0（n为奇，＞3）

导数应用之证明不等式

法一:单调性

化简，构造辅助函数

求导，得到单调区间

带入端点证明不等式

法二:拉格朗日(同一函数的差)

导数应用之方程根的存在性及个数

1.存在性

零点定理

罗尔定理

2.根的个数

单调性

罗尔定理推论

3.方法与技巧

化简构造辅助函数

求导得到单调区间

代入端点，利用零点定理

含参数的，先分离参数

微分中值定理

微分中值定理的证明题

证明含有ξ一个点的等式

法一:零点定理 (构造辅助函数过程中没有用到积分)

化简构造辅助函数

代入端点，利用零点定理

法二:罗尔中值定理

化简构造辅助函数

直接法(3大类)(最后一类分3小类)

原函数法

将ξ改为x，化简为容易积分的形式

积分去掉导数符号

移项构造辅助函数，为了简单，c取0

代入端点，利用罗尔中值定理

证明含有ξ，η两个点的等式

不要求ξ≠η

先对f(x)拉格朗日

再对f(x)，g(x)用柯西

要求ξ≠η

分区间[a,c]，[c,b]用两次拉格朗日

证明含有高阶导数的等式或不等式

泰勒公式，x0取端点/中点/极值点

第三章.一元函数积分学

第四章.多元函数微分学

第八章.多元函数积分学

第七章.无穷级数

数项级数敛散性的判定

正项级数

法一：比较判别法

一般形式（放缩找对象）

极限形式（等价找对象）

比较对象

P级数

等比级数

法二：比值判别法(n!)

法三：根值判别法(n次方)

法四：积分判别法

用于P级数

用于P级数推广

交错级数

法一：莱布尼茨判别法

法二：拆项

任意项级数

绝对收敛与条件收敛三条性质

求幂级数的收敛半径与收敛域

法一：阿贝尔定理

一点收敛，内部绝对收敛

一点发散，外部一定发散

端点可能绝对收敛，条件收敛，发散

法二：比值定理(n!)

法三：根值定理(n次方)

幂级数求和

利用常见函数的幂级数

先求收敛域

再化简或逐项求导(有分母)，逐项积分(没有分母)， 转化为8个常见函数的幂级数

综合微分方程

x^(2n)或x^(3n)缺项极严重的，求导

幂级数展开

有理函数

第一步：分母因式分解(拆项)

化简为1/(1+a(x-x0))

利用1/(1+x)或1/(1-x)展开

对数函数

第一步：化简为ln[1+a(x-x0)]

第二步：利用ln(1+x)展开

反三角函数

无穷级数的证明题

傅里叶级数

狄利克雷收敛定理

第六章.常微分方程

一阶微分方程

可分离变量dy/dx=f(x)g(x)

一阶齐次dy/dx=f(y/x)

一阶线性

齐次 y'+ P(x)y=0

非齐次y'+ P(x)y= Q(x)

伯努利方程

其中z是关于x的一阶线性非齐次

全微分方程

法一：原函数法

法二：第二类曲线积分

二阶常系数线性微分方程 y"+py'+ q1y=f(x)

解的性质与结构

齐次方程的通解

ｙ齐通＝c1y1+c2y2，y1,y2线性无关

非齐次方程的通解

y非齐通=c1y1+c2y2+y*

叠加原理

已知微分方程的解反求微分方程的解

第一步：齐次方程的解→特征根→特征方程→齐次方程

第二步：将y*代入方程→f(x)→非齐次方程

解二阶常系数线性微分方程

齐次

非齐次

先求齐次方程的通解

再求非齐次方程的特解

齐通+特解=非齐次通解

高阶常系数线性微分方程

可降阶的微分方程

y"=f(x,y') 缺y

y"=f(y,y') 缺x

欧拉方程

变量代换求解二阶变系数线性微分方程

微分方程的综合题

综合导数的几何意义

综合定积分的几何意义

综合变限积分

综合重积分

第五章.二重积分