考研数学-9.向量（线性代数）

考研数学--线性代数-向量，整理了运算、线性表示、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组的秩、向量组的秩知识，可参考和补充更多。

向量（选择证明）

• 运算
  • 加法，数乘，内积
    • 施密特正交化
    • 正交矩阵
• 线性表示
  • 无论是行向量还是列向量，判断表出，相关，极大组时都竖过来
  • 概念
    • 如果β＝k1α1+k2α2+......+ksαs,称β可由α线性表示
  • 判定
    • 充要条件
      • 非齐次方程组有解/系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩
        • 将非齐次方程行变换，讨论参数判定可否表出
    • 充分条件
      • α1....αs无关，α1....αs,β相关，则β可由向量组线性表出，且表示方法唯一
  • 等价
    • 向量组可以互相线性表示
• 线性相关
  • 用方程组求线性表出，使用tuv解法好表示； 判断已知矩阵线性相关，方阵用行列式，其他用齐次方程组
  • 概念
    • 存在不全为零的k1,.....ks使k1α1+........ksαs=0
      • 用定义判定：写出表达式用乘法凑零消项、重组
  • 判定
    • 充要条件
      • 齐次方程有非零解＜==＞线性相关
      • s个向量的向量组的秩小于＜s＜==＞线性相关
      • 某向量可由向量组其他向量线性表示＜==＞线性相关
    • 充分条件
      • n＋1个n维向量
      • 多数向量能由少数向量表示
• 线性无关
  • 常用结论：例3，11
  • 概念
    • k1α1+........＋ksαs=0，则k1,.....ks全为0
  • 判定
    • 充要条件
      • 齐次方程组只有零解
      • 向量组（方程）满秩
      • 向量组中任意向量不能由其他向量表示
    • 充分条件
      • 阶梯型向量组线性无关
• 极大线性无关组
  • 概念
  • 求法
• 向量组的秩
  • 确定秩为多少一般需要两个条件来夹逼； 求矩阵的秩化成行阶梯；
  • 矩阵的秩
• 向量组的秩
  • 确定秩为多少一般需要两个条件来夹逼； 求矩阵的秩化成行阶梯； 行列式、方程组解的个数可以求秩
  • 矩阵的秩