导图社区 高数强化（微分学）
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高数强化微分学
一元函数微分学的概念
导数定义(导数在一点的问题)
分段函数（含绝对值函数）在分段点
导数存在的充要条件是左导数等于右导数
即使不是分段函数，有时也要用定义法求导
前提是，公式法求导之后，在x0处无定义时 例3.11
抽象函数
特指点x0
定义法1
泛指点x
定义法2带有△x的
对于f（ax+b）多用△x定义法求解
四则运算中的特殊点
太复杂点
f=f1+f2
分开分别求导再相加
单个求导数时，复杂函数可以考虑定义法求解
f=f1*f2*f3..........*fn
转换成f=f1*g，使得f1代入函数是为零，化简为另两个函数的乘积
不成立的点
故用定义法
公式法成立的前提
每一点导数都存在
极限的方法求导
见笔记本36
微分的定义
函数增量△y
△y=A△x+0（△x）
△y=f（x+△x）-f（x）
线性增量dy( 线性主部)
dy=A△x
△x=dx
一元函数微分学的计算
基本求导公式
符号的写法
d（x²）=2xdx 、dx²=（dx）²
复合函数求导
隐函数求导
F（x，y）=0,两侧同时对x求导
反函数求导
f‘（x）*g’（x）=1
分段函数求导
在分段点用定义法
在非分段点用公式法
对于复杂函数，在非分段点上，使用定义法会比公式法简单
可微
多项乘、除、开方（多考虑对数求导法）
幂指数求导法
参数方程确定那个的函数求导
高阶导数
归纳法
一个复杂函数可以变换为两个或两个以上的已知的归纳式的乘积形式或者加法形式
莱布尼兹公式
两个函数乘积求高阶导数
同时要结合归纳法中的常用公式
对于一个复杂函数求高阶导数，可以转化为两个简单函数乘积的形式
多用于含多项式的，由于多项式求导几次后为零，可简化计算
展开式
任何无穷阶导数的通式
通过已知公式展开成幂级数
对比上述两式求高阶导数
多在0 点展开，方便计算
一元函数微分学的应用
定理、等式、不等式
中值定理
确定区间
来确定用什么
标注出可能用到的所有点和区间
确定辅助函数
简单情形
题目给啥用啥
复杂情形
构造函数
所给即所用
对于复杂函数
确定使用的定理
零点定理
f(a)f(b)<0,μ∈（a，b），使得f（μ）=0
常用于找零点
介值定理
m《a《M，存在 μ∈【a，b】，使得f（μ）=a
常用于找介值
费马定理
f（x）在x。处满足
可导
取得极值
f‘（x。)=0
证明一阶导数为零
罗尔定理
(a,b)可导
f(a)=f(b)
[a,b]连续
证明一阶导数或者高阶导数为零
存在μ∈（a，b），使得f'(μ)=0
拉格朗日中值定理
存在μ∈(a,b),使得f(a)-f(b)=f'(μ)（a-b）
f 与f‘
f （a ）-f （b ）
证明一阶导数或者高阶导数><0
F ( f’(a),f’(b))=0
泰勒公式
带拉格朗日余项的n阶泰勒公式，保证n+1阶可导
多用于研究函数
x0 一般取知道导数的值展开
带佩亚诺余项的n阶泰勒公式，保证n阶可导
研究极限多使用
注意：在x0 处可导，在x0 的领域的任何一点x 都可以展开
常用于函数f （x ）与高阶导数的关系
可证明高阶导数><0
f‘’可用于凹凸性的考察
柯西中值定理
g'(x)≠0
存在u∈（a,b）,使得[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]=f'(u)/g'(u)
两个具体函数
一个抽象和一个具体
抽象的是f （x ）；具体的函数根据证明关系创造函数，例如：证明中有2& ，可列写函数x 平方
与拉格朗日相结合
导数零点定理
常见关键点总结
f （a ）=0 、f‘>0 、f’’>0
函数值f （x ）=0
可以来凑拉格朗日
用极限得结论
保号性
连续可导
等式两边去极限
夹逼准则
用零点定理和介值定理推导关键点
用积分
积分中值定理
原函数的定义
等式两边算积分
费马定理推导关键点
用奇偶性质
奇函数f （0 ）=0
偶函数导数f‘（x ）=0
用几何条件
交点
函数值相同
公切线
导数斜率相同
相等的最值
函数值
导数斜率均为零
斜率可能不存在
行列式性质
其他问题
双中值问题
证明存在x1 ，x2 属于（a ，b ），但x1 不等于x2
拉格朗日，泰勒变体形式
m 属于（a ，b ），令&= （m-a ）/ （b-a ），
则m= ａ +& （b-a ）
反求m 表达式，再求lim f （m ）
假设法
反证法
构造函数法
（UV ）^=u^v+v^u
⚠️
端点为零，又出现一阶导数
拉格朗日
三个点，拉格朗日
第三个点要根据题意寻找
k 值法
证明的式子含常数，a 、b ，可令成k ，进行变换来构造函数
左右两端对称
有界和最值定理
在闭区间，f（x）必存在最大值和最小值
平均值定理
允许开区间
微分等式问题（方程的根、函数的零点）
理论依据
推广的零点定理
用导数工具研究函数性质
罗尔原话
若函数fx 的n 阶导数至多有k 个根，则fx 至多有k+n 个根
实系数奇次方程至少有一个根
考法
证明恒等式
函数零点的个数
至少有几个
至多有几个
恰好有几个
注意：对函数的无定义点进行分析
含参数讨论
导数含参数
导数不含参数
方程列问题
见极限
区间列问题
把参数剥离出去（单个参数或多个参数）
进行讨论，两个参数时，固定一个，讨论另一个
无法分离时，代入整体计算
微分不等式问题
用最值
用单调性
用凹凸性
用拉格朗日中值定理
用可柯西值定理
用拉格朗日余项的泰勒公式
物理应用
以A对B的变化率为核心写dA/dB的表达式的变形
几何应用
研究对象
祖孙三代
f（x）
具体
抽象
fn（x）函数族
f1*f2*f3..........fn
导数
积分
∑Anx²
分段函数（含绝对值函数）
参数方程
隐函数F（x，y）=0
研究内容
切线、法线、截距
切线斜率与法线斜率的乘积为-1
极值、单调性
单调性的判别
一阶可导点事极值点的必要条件
可导且取极值，导数必为零
判断极值
第一充分条件
一阶导数变号
第二充分条件
二阶导数<,>零的判别
第三充分条件
n阶导数，n为偶数
大于零
极小值
小于零
极大值
可疑点
f’（x）=0
f‘（x）不可导点
用定义法求导，出现左导数和右导数变号的情况
极值点包括不可导点
拐点、凹凸性
凹凸性的定义
拐点的定义
（x，y）
判断二阶导数变号
凹凸性与拐点的判别
判别凹凸性的充要条件
二阶导数与零的比较
二阶可导点是拐点的必要条件
二阶导数存在，且为拐点
二阶导数为零
判断拐点
二阶导数变号
二阶导数为零，三阶导数不为零
该点是拐点
存在n阶导数，n为奇数
n阶导数不为零，<=n-1阶导数为零
判断凹凸区间考虑二阶导数存在的点和不存在的点（左右变号即可）
一阶导数不存在，则二阶导数也不存在
渐近线
寻找无定义点
铅垂渐近线
水平渐近线
斜渐近线
按顺序求解
有水平渐近线就没有斜渐近线
先找定义域
然后再求解
最值（值域）
求出可疑点
驻点
不可导点
求出端点值或极限（求值域）
比较两者，取最值
求闭区间上【】连续函数的最大值和最小值
求开区间内（）连续函数的最值或取值范围
可能取不到极值
曲率和曲率半径
相关变化率
多元函数微分学
概念
极限
洛必达法则、单调有界准则不在适用
连续
f （x ，y ）在某点上极限值等于函数值
偏导数
定义法
公式法
带入点不符合公式条件时，转为使用定义法
高阶偏导数
先带后求法
在（x 。，y 。）对x 求偏导，可先将y 。带入，转换成一元函数求导，求导之后再把x 。带入
三步法判断是否可微
线性增量
全增量
对x ，y 求偏导有一个不存在，直接不可微
偏导连续
偏导函数值等于极限值
三步法判断
复合函数求导法
链式求导规则
画出复合结构图进行求导
全导数
前提z=z （u ，v ）、u=u （x ）、v=v （x ）
z 最终只是x 的函数
dz/dx
全微分形式不变性
全微分dz=Adx+Bdy 或者dz=Cdu+Ddv
求导后的新函数具有与原来函数完全相同的函数
隐函数求导法
一个方程的情形
方程组的情形
隐函数存在定理
1000 13 章b 2
偏导在某点上不为零，在该点邻域上存在隐函数
多元函数的极值和最值
无条件极值
取极值的必要条件
一阶导函数（分别对x 、y 求偏导）在某点处为零
取极值的充分条件
B—AC<0
A>0
极小值点
A<0
极大值点
B-AC>0
非极值点
条件极值与拉氏乘数法
一阶偏导函数为零
取出符合条件的点
带入比较，求出极值
方法
观察法
消元带入法
字母的轮换对称性
x 与y 互换后，题目条件不变
根据题目条件
x=y
x=±y
对目标函数的等价转化
｜z｜ ➡️z平方
有根号可转化为根号内部函数求解
u1u2u3 ➡️lnu1+lnu2+lnu3
偏微分方程
已知偏导数（或增量）的表达式，求z=f （x，y ）
积分求解
例题13.27 13.28
给出变换，化一直偏微分方程为常微分方程，求f （u ）
具体型
根据题目式子求解需要满足的式子
例题13.29
抽象型
根据一些已知公式转化为具体函数
例题13.30
给出变换，化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题（偏导数的变量代换）
按照题意计算，用已知表示未知
例题12.31
结合全微分不变性进行求解
&=ax+by #=cx+dy
微分方程
一阶微分方程的求解
y‘=f （x ）g （y ）
y‘=f （ax+by+c ）
换元法
y‘=f （y/x ）
1/y‘=f （x/y ）
y‘+p （x ）y=q （x ）
二阶可降阶微分方程的求解
y“=f （x ，y‘）
缺少y
y“=f （y ，y‘）
缺少x
高阶常系数线性微分方程的求解
y“+py‘+qy=f （x ）
y“+py‘+qy=f1 （x ）+f2 （x ）
”yⁿ”n>=3的情形
根据特解的基本形式求解λ
在带入题目中求解
换元法求解微分方程
求导公式的逆用
用自变量来换元
用因变量换元
x ，y互换
题目会有提示
应用题
用极限、导数的定义或积分等式建立方程
用几何应用建立方程
用曲线切线斜率
用两个曲面的公共切线斜率
用截距
用面积
用体积
用平均值
变化率问题
人口增长
追踪问题
元素衰变问题
冷却定律
牛顿第二定律
