第一章函数极限与连续

高数大一第一章函数极限与连续框架，函数极限定义1(ε-X）设f(x）在|x|>a上有定义．若Vε>0,彐X>0，使得当|x|>X时，恒有|f(x)-A｜＜ε,则称x→00时函数f(x）有极限A，记作lim f(x)=A，或f(x)→A(x→∞)."ε-X"定义 lim f(x)=A Vε>0,彐X>0,当|X|>X时，有|f(x)-A|<ε.

第一章函数极限与连续

• 1.7极限运算法则
  • 定理1 设limf(x)=A, limg(x)=B，则 (1)lim[f(x)±g(x)]=A±B=limf(x)±limg(x); (2)lim[f(x)-g(x)]=A·B=limf(x)·limg(x);
  • 定理2（复合函数的极限运算法则） 设函数y=f[g(x)］是由函数y=f(u）与函数u=g(x） 复合而成，f[g(x)］在点xo的某去心邻域内有定义，若
• 1.8极限存在准则
  • 夹逼准则
  • 单调有界准则
    • 单调有界数列必有极限
  • 两个重要极限
    • limsinx/x＝1
    • lim（1+1/x）x次方
  • 连续复利
• 1.9无穷小的比较
  • 无穷小比较的概念
    • 定义1 设a,B是在自变量变化的同一过程中的两个无穷小，且a≠0. (1）如果lim-=0，则称B是比a高阶的无穷小，记作B=o(α). (2）如果lim-=∞，则称B是比a低阶的无穷小． (3）如果lim-=C(C≠0)，则称B与a是同阶的无穷小；特别地，如果lim一＝1,则称B与a是等价的无穷小，记作a~B. a (4）如果lim-=C(C≠0,k>0)，则称B是α的k阶无穷小．
  • 等价无穷小
    • sinx~x arcsinx~x In(1+x)~x (1+x)a-1~ax(a≠0且为常数） ax-1~xlna(a>0) tanx~x arctanx~x ex-1~x
• 1.10函数的连续与间断
  • 函数的连续性
    • 定义1 设函数y=f(x）在点xo的某一邻域内有定义．当自变量x在点x0处取得增量△x （即x在这个邻域内从xo变到xo+△x）时，相应地，函数y=f(x）从f(xo)变到f(xo+Ax)，则称 △y=f(xo+△x)-f(xo)为函数y=f(x）的对应增量
    • 定义2 设函数y=f(x）在点xo的某一邻域内有定义．如果当自变量在点xo处的增量△x趋于零时， 函数y=f(x）对应的增量Ay也趋于零，即lim Ay=0 或 lim [f(xg+△x)-f(x0)]=0,△x→0 则称函数f(x）在点xo处连续，xo称为f(x）的连续点
    • 定义3) 时的极限存在，且等于它在点xo处的函数值f(xo)，即 设函数y=f(x）在点xo的某一邻域内有定义．如果函数f(x）当x→x0 lim f(x)=f(xo),x→.x0则称函数（x）在点0处连续
  • 左连续与右连续
    • 定理1 函数f(x）在点xo处连续的充分必要条件是函数f(x）在点x0处既左续又右连续．
  • 连续函数与连续区间
    • 在区间内每一点处都连续的函数，称为该区间内的连续函数，或者说函数在该 区间内连续 如果函数在开区间（a,b）内连续，并且在左端点x=a处右连续，在右端点x=b 处左连续，则称函数f(x）在闭区间［a,b］上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线．
  • 函数的间断点
    • 跳跃间断点
    • 无穷间断点 震荡间断点
• 1.11连续函数的运算和性质
  • 连续函数的四则运算
    • 定理1 若函数f(x),g(x）在点xo处连续，则 f(x),(g(xo)≠0),Cf(x)(C为常数）,f(x)±g(x),f(x) g(x), g(x)/f(x),在点x0处也连续
  • 复合函数的连续性
    • 定理2若lim p(x)=a,u=ψ(x)，函数f(u）在点a处连续，则有 lim f[ψ(x)]=f(a)=f[ lim ψ(x)].
    • 定理3 设函数 u=p(x）在点x0处连续，且ψ(xo)=u0，而函数y=f(u） 在点u=uo处连续，则复合函数f[ψ(x)］在点x0处也连续．
  • 初等函数的连续性
    • 定理4 基本初等函数在其定义域内是连续的． 因初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的
    • 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的． 注：这里，定义区间是指包含在定义域内的区间． 初等函数仅在其定义区间内连续，在其定义域内不一定连续，
  • 闭区间上 连续函数的性质
    • 定理6（最最小值定理） 在闭区间上连续的函 数一定有最大值和最小值。
    • 定理7（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。 如果f(xo)=0，则称点xo为函数f(x）的零点．
    • 定理8（零点定理） 设函数f(x）在闭区间［a,b］上连续，且f(a）与f(b）异号 （即f(a)f(b)<0)，则在开区间（a,b）内至少有函数f(x）的一个零点，即至少存在一点ζ(a<ζ<b)，使 f(ζ)=0
    • 定理9（介值定理）设函数f(x）在闭区间［a,b］上连续，且在该区间的端点处有不同的函数值f(a)=A及f(b)=B， 那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a,b）内至少有一点ど，使得 其为f(ξ)=C(a<E<b).
• 1.6无穷大和无穷小
  • 无穷小
    • 定义1 极限为零的变量（函数）称为无穷小 (1) lim sinx=0，所以函数sinx是当x→0时的无穷小； (2)lim-=0，函数﹣是当x→∞时的无穷小； (3)lim-=0，函数是当n→∞时的无穷小。
    • lim f(x)=A的充分必要条件是 f(x)=A+a,
  • 无穷小的运算性质
    • 定理2 有限个无穷小的代数和仍是无穷小． 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小． 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小． 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小．
  • 无穷大
    • 定义2 如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数8 （或正数使得满足不等式0<|x-xo|<8（或|x|>X）的一切x所对应的函数值f(x）都满足O<等式 |f(x)|>M,则称函数f(x）当x→x0（或x→0∞）时为无穷大，记作 lim f(x)=∞（或lim f(x)=0∞).
  • 无穷小与无穷大的关系
    • 定理4 在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大
• 1.5函数的极限
  • 函数极限的定义
    • 定义1(ε-X）设f(x）在|x|>a上有定义．若Vε>0,彐X>0，使得当|x|>X时，恒有 |f(x)-A｜＜ε,则称x→00时函数f(x）有极限A，记作lim f(x)=A，或f(x)→A(x→∞). "ε-X"定义 lim f(x)=A Vε>0,彐X>0,当|X|>X时，有|f(x)-A|<ε.
  • 函数极限的性质
    • 性质1（极限的唯一性）如果 lim f(x)= A, 那么这极限唯一。
    • 性质2（局部有界性）若当x→xo时，f(x）有极限，则f(x）在U(x0,δ）上有界； 若当x→∞时，f(x）有极限，则存在X>0，当|x|>X时，函数f(x）有界．
  • 左右极限
    • 当自变量X从X0的左侧或右侧趋于X，零时函数FX趋于， 常数a则称A为FX在点X零处的左极限和右极限。
    • limf（x）＝A的充分必要条件为limx→x0-f（x）＝limx→0+f(x)=A
• 1.4数列的极限
  • 引入
    • 刘徽割圆术
  • 定义
    • 按一定次序排列的无穷多个数称为无穷数列
  • 极限
    • 设有数列Xn与常数a，如果当n无限增大时无限接近于 则称常数a为数列，xn的极限过程，数列xn收敛于a
  • 收敛函数的有界性
    • 对数列{xn}，若存在正数M,使得一切自然数n,恒有 则称数列{xn}有界;
  • 唯一性
    • 每个收敛的数列只有一个极限.
    • 收敛的数列必定有界.-------无界数列必定发散.
  • 收敛数列的保号性
    • 如果limXn＝a,且a>0.那么存在N,当n大于N，有xn>0。
• 1.3常用经济函数
  • 单利与复利
    • Sn=p(1+nr)
    • Sn=p(1+r)ⁿ
  • 多次付息
    • Sn=p(1+r)
    • Sn=p(1+r/m)ⁿm
  • 贴现
  • 需求函数
  • 供给函数
• 1.2初等函数
  • 反函数X=f-1（y）关于X等于Y对称
  • 基本初等函数
    • 幂函数
    • 指数函数
    • 对数函数
    • 三角函数
    • 反三角函数
    • 复合函数
• 1.1函数
  • 实数
    • 稠密性，有序性
  • 区间
    • 有限区间，无限区间
  • 邻域
  • 函数的概念
    • 定义域函数，值函数关系，值域
  • 函数的表示方法
    • 表格法，图像法，公式法
  • 函数特性
    • 函数的有界性，单调性，奇偶性，周期性