导图社区 线性代数配套思维导图
- 205
- 9
- 1
- 举报
线性代数配套思维导图
配套线性代数同济课本使用，可以去中国大学mooc看同济的课。下图知识点涉及行列式、矩阵、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性等。
编辑于2021-02-03 22:54:04- 相似推荐
- 大纲
线代
行列式
二阶与三阶行列式
二元线性方程组 与二阶行列式
定义
K1下
克莱默法则：x1=D1/D,x2=D2/D
K2中
例题
K2-例1
三阶行列式
对角线法则
K3中
例题
K3-例2
K4-例3
全排列与对换
排列及其逆序数
逆序数：❶奇排列❷偶排列
K4中下
对换及其性质
定义
相邻对换
K5中
定理1
一个排列中任意两个元素对调，排列改变奇偶性。
K5中
推论1
K5中下
推论2
n阶行列式
定义
K7上
几个特殊行列式
上(下)三角形行列式
K7-例5(1)
对角行列式
K7-例5(2)
行列式的性质
性质1
行列式的行、列互换，值不变
K8上
同理→D=Dᵀ
性质2
交换行列式的两行(列),行列式变号
K9上
推论→若行列式有两行(列)完全相同，则行列式等于零
K9中
性质3
若行列式的某一行(列)有公因子，k可以提到行列式前面。 用k乘行列式,等于用k乘行列式的某一行(列)。
K9中下
性质4
若行列式有两行(列)成比例，则行列式等于零
K9下
性质5
行列式的拆分原理
K9下
性质6
行列式某行(列)的倍数加到另一行(列)，值不变。
K10,中
将行列式归结为三角行列式的计算 (K10,下)
两列交换变号
公因子提到行列式外面
-1倍加到另一行，行列式值不变。
分拆定理
例题
K11-例6
K12-例7
K12-例8
K13-例9
K14-例10
K15-例11
行列式按行(列)展开
行列式的展开定理
余子式Mij
K15下
代数余子式Aij
K15下
引理
在n阶行列式地中，若第i行元素除a（ij）元素都是零，则D=a₁₂Aij
K16中
定理2
行列式等于该行元素与其对应代数余子式乘积之和
K17中上
展开定理的应用
在应用时，通常是利用行列式的性质让某一行(列)出现尽可能多的零，再按该行(列)展开
K17下
例题
K18-例7
推论
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和为零
K20上
例题
K20-例13
范德蒙德行列式
数学归纳法
K18-例12
矩阵
线性方程组和矩阵
线性方程组
非齐次线性方程组
K24中
齐次线性方程组
K24中下
要讨论的三个问题 （K25中上）
方程组是否有解？
在方程组有解时，解是否唯一？
如果有多个解如何求出它的所有解？
雉兔同笼
矩阵的定义
m×n矩阵
K26上
复矩阵
实矩阵
几类特殊矩阵
零矩阵
K26下
行矩阵与列矩阵
K26中下
方阵：行数和列数相等的矩阵
K26中上
特殊矩阵
上三角阵
下三角阵
对角阵：即是上三角矩阵，也是下三角矩阵
K28中下
同型矩阵
两个矩阵的行数相等，列数也相等
K26中下
对于非齐次线性方程组，有 K26-例1
A为系数矩阵
x为未知数矩阵
b为常数项矩阵
B为增广矩阵
变换
线性变换
K28上
恒等变换
K28中下
矩阵的运算
矩阵的加法
定义
K29定义2
同型矩阵才能用加法
K30上
性质 （K30中上）
交换律
结合律
数与矩阵相乘
K30中
矩阵与矩阵相乘
定义
a的行乘以b的列
K31定义4
注意
矩阵乘法不满足交换律→AB≠BA
K33上
两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵→ A≠0,B≠0,但AB=0
K33上
矩阵乘法不满足消去律
性质（K33中上）
分配率
结合律
矩阵的幂及其运算规律
K33中下
(A+B)²=A²+2AB+B²,(A-B)(A+B)=A²-B²等公式， 只有当A与B可交换时才成立
K33中下
方程组的矩阵形式
Ax=b
K35上
矩阵的转置
矩阵的转置及性质
定义
K36定义5
性质
K36中
例题
K36例8
两种解法 ❶先乘再转置 ❷先转置再乘
转置矩阵的n次幂
对称矩阵与反对称矩阵
K37中
例题
K37-例9
方阵的行列式
定义
K37定义6
性质 K38上
｜Aᵀ｜=｜A｜
｜λA｜=λⁿ｜A｜
｜AB｜=｜A｜·｜B｜⇨｜AB｜=｜BA｜
伴随矩阵
AA*=A*A=｜A｜E
K38-例10
逆矩阵
逆矩阵的定义和性质
定义
K39定义7
逆矩阵是唯一的
K39中下
4个性质
K40中下
幂指运算
K40,下
求逆公式
定理1
若n阶方阵可逆，则｜A｜≠0
K39下
｜A｜·｜A⁻¹｜=1=E
定理2
若｜A｜≠0,则矩阵可逆，且A⁻¹=1/｜A｜·A* ---A*为矩阵A的伴随矩阵
K40上
A是可逆矩阵的充分必要条件是｜A｜≠0
K40中上
❶奇异矩阵 ❷可逆矩阵就是非奇异矩阵
K40中
推论
若AB=E（或BA=E）,则B=A⁻¹.
K40中
逆矩阵的三个运算规律
(A⁻¹)⁻¹=A
(λA)⁻¹=1/λ·A⁻¹
(AB)⁻¹=B⁻¹·A⁻¹
K40中下
例题
K41-例11
K41-例12
注意
求逆公式A⁻¹=1/｜A｜·A*主要用来理论证明和推导， 很少用来计算，计算量比较大
K40上
逆矩阵的初步应用
求未知矩阵
K41-例13
求Aⁿ
K42-例14
用例 14中的方法计算A的多项式Φ(A)
K43中上
例题
K43-例15
克拉默法则
如果线性方程组Ax=b的系数矩阵的行列式｜A｜≠0，则该线性方程组有唯一解。
K44下
证明
K45中
例题
分别用克拉默法则和逆矩阵方法求解线性方程组
K45-例16
从例子中得出， 克拉默法则只能处理特殊的线性方程组， 即方程个数与未知量个数相等的线性方程组。
K44中
矩阵分块法
分块矩阵的概念
定义
K46中下
按列分块
按行分块
矩阵分块原则
矩阵加减法的分块原则
只要两个矩阵的行和列的分块方式完全一致即可
K47中下
数与矩阵乘法的分块原则
K47下
矩阵乘法的分块原则
K48中上
例题
K48中上
矩阵转置的分块原则
K49中
分块矩阵的应用
分块对角矩阵
K49中下
性质
K49中下
例题
K49-例18
K51-例19
矩阵的初等变换 与线性方程组
矩阵的初等变换
定义 （K58中）
引例
求解线性方程组
K57下
下面三种变换称为 矩阵的初等行变换
交换矩阵的两行
以数k≠0乘某一行中的所有元
把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去
K58中
矩阵与A与B等价的定义
K58中下
❶反身性 ❷对称性 ❸传递性
K58中下
初等变换的应用→ 解线性方程组
矩阵与方程组的对照举例
K59中
例题
K65-例 4
初等矩阵与 初等变换的性质
三种初等变换对应有三种初等矩阵
K61中
性质1
设A是一个m×n的矩阵，对A施加一次初等行变换，相当于在A左边乘以相应的m阶初等矩阵； 对A施加一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵
K62中下
性质2
方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P₁,P₂,……，Pl，使A=P₁P₂……Pl.
K62下
定理1
设A与B为m×n矩阵，那么A～B⇔存在m阶可逆矩阵P，使得PA=B
K63中上
初等变换的应用（二）
求矩阵的逆矩阵
原理
K63下
例题
K64-例2
解矩阵方程AX=B
原理
K65中右
例题
K64-例3
矩阵的秩
定义
m×n矩阵A的k阶子式
K66中下
最高阶非零子式
K67定义5
矩阵A的秩，记作R(A)
K67定义5
秩与s,t阶子式以及｜A｜是否=0的关系
K67中下
由于行列式与其转置行列式相等， 因此Aᵀ的余子式对应相等，从而R(A)ᵀ=R(A)
K67下
求法
例题
K68-例5
K68-例6
K68-例7
两个等价的矩阵的秩是否相等
若A～B,则R(A)=R(B)
K68-中上
行阶梯矩阵的秩就等于非零行的行数， 初等行变换可将一般矩阵，化为行阶梯形矩阵来求秩 是方便有效的方法
K68中上
性质
最基本的性质
K69下①②③④
常用的性质
K70⑤⑥⑦⑧
例题
K71-例8
K71-例9
满秩矩阵就是可逆矩阵
K71中
线性方程组的解
线性方程组Ax=b有解的 充分必要条件
如果线性方程组有解，就称它是相容的， 如果无解，就称它不相容。
K72上
定理3 K72中上
❶无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)
❷有唯一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n
❸有无限多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n
基本结论
定理4是定理3❸的特殊情形
n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)＜n
K76中下
定理5就是定理3❶
线性方程组Ax=b有解的充要条件是R(A)=R(A,b)
K76中下
定理6←把定理5推广到矩阵方程
矩阵方程AX=B有解的充要条件是R(A)=R(A,B)
K76下
定理7←由定理6容易得出矩阵秩的性质
设AB=C,则R(C)≤min｛R(A),R(B)｝
K77中
充分必要条件的应用
K72-例10
K73-例11
K74-例12
K75-例13
向量组的线性相关性
向量组及其线性组合
向量及向量组的概念
定义
n维向量
K81上
❶实向量与复向量
K81中上
❷行向量与列向量
K81中下
向量组
K82中上
含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应。
K82中下
向量组的线性组合
定义
线性组合β，组合系数k，线性表示
K83上
定理1
向量b能由向量组A线性表示的充要条件⇔R(A)=R(A,β)
K83中上
例题
K85-例1
向量组的等价
定义
K83中上
系数矩阵
K83中下
定理2
向量组B能由向量组A线性表示⇔矩阵方程AX=β有解⇔R(A)=R(A,B)
K84中下
向量组B能由A线性表示，则R(B)≤R(A)
K86定理3
推论
向量组A与向量B等价的充要条件 ⇔矩阵方程AX=B与BY=A同时有解 ⇔R(A)=R(B)=R(A,B)
K84中下
例题
K85-例2
若C m×n=A m×l ·B l×n，
矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示 （B为线性表示的系数矩阵）
K83中下
矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量线性表示 （A为线性表示的系数矩阵）
K84上
向量组的线性相关性
向量组线性相关与线性无关的概念
定义
定义4
存在不全为零的k₁,k₂,……,kn 使得k₁a₁+k₂a₂+……+knan=0，则向量组A(α₁,……,αn)线性相关
K87中
若k全为0，则线性无关
举例
线性相关
系数矩阵的秩r＜n→｜A｜=0
线性无关
系数矩阵的秩r(A)=n→｜A｜≠0
只含一个向量的向量组
当a≠0时是线性相关的，当a=0时是线性无关的
K87中下
含有两个向量a1,a2的向量组
⇔a1，a2的分量对应成比例
K87中下
含零向量的向量组必定线性相关
线性相关性的判别
给定向量组，如何判断它的线性相关性？
定理4
向量组线性相关与线性无关的充要条件
K88中
例题
K88-例5
K89-例6
法一法二→将向量无关组的证明转化为判断线性方程组只有零解（或没有非零解）
法三→借助矩阵秩的有关知识，避免了讨论线性方程组而直接给出结论
有关结论
定理
向量组A线性相关的充要条件是 其中至少有一个向量可以由其余m-1个向量线性表示。
K87中下
向量组A线性无关的充分必要条件是其中任何一个向量不都不能由其余m-1个向量线性表示。
K88上
定理5
向量组A与向量组B互相之间线性相关与线性无关的3个关系
K90中
例题
K90-例7
向量组的秩
定义
最大线性无关组所含向量个数r称为向量组的秩，记作R
K91定义5
注
只有零向量的向量组没有最大无关组，它的秩为0
K91下
一个向量组的最大无关组是 向量组中所有含向量个数最多的线性无关的子组之一。
和向量组的最大无关组不一定是唯一的。
K91上
一个向量组与它的最大无关组是等价的。
K91中上
推论
最大无关组的等价定义
K92中
例题
K92-例8
K93-例9
求法及相关结论
矩阵的秩等于它的行列向量组的秩， 也等于它的行向量组的秩。
K93定理6
例题
K94-例10
如果矩阵A和B的行向量组等价，则方程Ax=0与Bx=0同解
向量组B能由向量组A线性表示的充要条件为R(A)=R(A,B)
K95-定理2'
向量组B能由向量组A线性表示，则Rb≤Ra
K95-定理3'
例题
向量组B可由向量组A线性表示，且他们的秩相等， 证明：向量组A与向量组B等价。
K95-例11
线性方程组的解的结构
★线性方程组的解的判定 两个重要的定理（K96上）
n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是 系数矩阵的秩R(A)＜n
n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件是 系数矩阵A的值等于增广矩阵B的秩
R(A)=R(B)=n时方程组有唯一解
R(A)=R(B)＜n时，方程组有无限多个解
齐次
性质
向量方程Ax=0的解
性质1
若x=ξ₁,x=ξ₂为向量方程Ax=0的解， 则x=ξ₁+ξ₂也是向量方程Ax=0的解
K96下
性质2
若x=ξ₁为作为向量方程Ax=0，k为实数， 则x=kξ₁也是向量方程的解
K97上
最大无关组的任何线性组合x=k₁ξ₁+k₂ξ₂+……+ktξt， 都是方程组的解，因此上式称为方程组的通解。
K97中上
齐次线性方程组的解集的最大无关组称为 该齐次线性方程的基础解系。
K97中
要求齐次线性方程组的通解，只需求出它的基础解系
基础解系的求解步骤
K98
定理
设m×n矩阵A的秩R(A)=r,则n元齐次线性方程组Ax=0的 解集S的秩Rs=n-r
K99定理7
例题
求齐次线性方程组Ax=0的基础解系与通解
K99-例12
设A m×n · B n×l=0,证明R(A)+R(B)≤n
K101例13
设n元齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解，证明R(A)=R(B)
K15-例15
证明：R(AᵀA)=R(A)
K102-例15
非齐次
性质
向量方程Ax=b的解
性质3
设x=η₁及x=η₂都是向量方程Ax=b的解， 则x=η₁-η₂为对应的齐次线性方程组Ax=0的解。
K102下
性质4
设x=η是方程Ax=b的解，x=ξ是方程Ax=0的解， 则x=ξ+η仍是方程Ax=b的解
K102下
特解的定义
K103上
★非齐次线性方程的通解= 对应的齐次方程的同解+非齐次方程的一个特解
K103中
求非齐次线性方程组Ax=b的通解步骤
K103下
例题
求解方程组
K103-例16
相似矩阵及二次型
向量的内积、长度与正交性
向量的内积
定义
K114上
性质
❶对称性 ❷线性性 ❸正定性
K114中下
向量的长度
长度的概念
K115上
向量长度的性质
❶正定性（非负性） ❷齐次性 ❸三角不等式
K115中上
柯西-施瓦次不等式
K114中下
向量之间的夹角
K115中
向量的正交化
向量正交的定义
K115中
正交向量组的定义
K115中下
定理1
若n维向量是一组两两正交的非零向量，则各向量线性无关
K115中下
例题
K115-例1
规范正交组
正交基
规范正交基
K116定义3
向量组的正交化 正交矩阵与正交变换
向量组的正交化
向量在标准正交基中的坐标的计算公式 （利用这个公式能方便的求得向量的坐标）
K116下
施密特正交化法
K117中
步骤
正交化
K117上
规范化
K117中上
例题
K117-例2
K118-例3
正交矩阵与正交变换
定义4
正交矩阵，简称正交阵
K118下
定理
方阵A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位向量，且两两正交
K119中上
性质
K119中下
正交变换的定义
K119定义5
方阵的特征值与特征向量
定义(K120)
特征值
λ
特征向量
非零向量x
特征方程
｜A-λE｜=0
特征多项式
f(λ)=｜A-λE｜
特征值与特征向量的求法步骤 （K121中右）
写出A的特征多项式｜A-λE｜
由特征多项式→解特征方程的n个特征值λ1，λ2，……，λn
每个特征值λi，求(A-λiE)x=0的基础解系，写出其全体非零线性组合，即得λi的全体特征向量
例题
K121-例5
K121-例6
特征值与特征向量的性质
定理1
设是λ方阵A的特征值，则 ❶λ²是A²的特征值 ❷当A可逆时，λ⁻¹是A⁻¹的特征值
K122下
定理2
设λ是方阵A的特征值，则Φ(λ)是Φ(A)到特征值
K123上
例题
K123-例8
定理3
属于不同特征值的特征向量是线性无关的
K123定理2
推论
对应于两个不同特征值的线性无关的特征向量组，合起来仍是线性无关的
K123下
例题
K123-例9
矩阵相似的定义和性质
定义
K124中上
性质
❶反身性 ❷对称性 ❸传递性
K124下
A的多项式：Φ(A)=PΦ(B)P⁻¹
K124下
A与B相似⇔R(A)=R(B)且｜A｜=｜B｜
A与B相似 →A与B的特征多项式相同 →A与B的特征值相同。
K124定理3
推论
若n阶矩阵与对角矩阵Λ=diag(λ1，λ2，……，λn)相似，则就是λn就是A的n个特征值。
K124中下推论
A与B有相同的特征值λ1，λ2，……，λn)， A与B都能与对角阵相似
？
A～diag(λ1，λ2，……，λn) B～diag(λ1，λ2，……，λn)，则→A与B相似
目的
找可逆矩阵P，使得P⁻¹AP=Λ为对角阵
问题
能不能化?不是所有方阵均可为对角化
K125上
方阵的相似对角化
问题1
何时能化?（找充要条件）
定理
n阶矩阵可相似对角化⇔A有n个线性无关的特征向量
K125下
推论
如果n阶矩阵A有n个互不相等的特征值，则A可对角化
K125下
例题
K127-例11
问题2
怎么化？（找P和A）
例题
K126-例10
对称矩阵的对角化
对称矩阵 特征值、特征向量的性质
对称矩阵的特征值为实数
设λ1，λ2对称矩阵A的两个特征值，p₁,p₂是对应的特征向量，若λ1≠λ2，则p₁与p₂正交。
K128中上
定理
设A为n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，使P⁻¹AP=PᵀAP=Λ,其中Λ是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵
K128中
推论
设A为n阶对称矩阵，λ是A的特征方程的k重根，则矩阵A-λE的秩R(A-λE)=n-k，从而对应特征值λ恰有k个线性无关的特征向量。
K128中下
对称矩阵的正交对角化
n阶对称矩阵A正交对角化的步骤
K128下
例题
K129-例12
K130-例13
二次型的定义及表示方法
二次型的定义
K131中上
二次型的矩阵表示
K132中上
例题
K132中下
二次型的矩阵及秩的定义
K132中下
合同矩阵
矩阵的合同
定义
K132定义9
性质
A和B合同⇔有相同的正、负惯性指数
K132下
二次型标准化
定义
二次型的标准型
K131中下
二次型的规范性
K131下
主要问题
寻可逆变换x=Cy,，使得f=xᵀAx=yᵀ(CᵀAC)y只含平方项。(二次型标准化)
K132下
步骤
K133中上
即把对称矩阵A合同对角化
K133中
用正交变换将二次型标准化
定理
K133定理6
推论
K133中下
用正交变换化二次型为标准型的具体步骤
K134中右
例题
K134-例14
用配方法化二次型成标准型
拉格朗日配方法
K135中
例题
K135-例15
K136-例16
一般地，任何二次型都可以用上面两例的方法找到可逆变换，把二次型化成标准型(或规范性)。
正定二次型
定理
惯性定理
K137-中上
正系数的个数称为二次型的正惯性指数
负系数的个数称为二次型的负惯性指数
定义
❶正定二次型→正定 ❷负定二次型→负定
K137定义10
定理2
n元二次型为正定的充要条件是它的标准型的n个系数全为正，既它的规范型的n个系数全为一，亦即它的正惯性指数等于n
K137中
推论
对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正
K137中下
定理3 （霍尔维茨定理）
❶对称矩阵正定的充分必要条件 ❷对称矩阵负定的充分必要条件
K137-定理9
例题
K138-例17
总结
二次型f=xᵀAx正定的充分必要条件
K138中上