概率论知识总结

重点来了！大学概率论知识梳理。知识点包括但不限于以下几点：什么是随机事件？常见的两种随机变量及其分布类型是什么？常见的多维随机变量及其分布类型又是什么？数学期望、方差它们的性质与计算方法等等。小伙伴们，赶紧收藏起来吧！

概率论

• 数字特征
  • 数学期望
    • 性质
      • E(c)=c E(cX)=cE(X)
      • E(X+Y)=E(X)+E(Y)
      • E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
      • X,Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y)
    • 计算
      • E(X)
        • d.r.v
        • c.r.v
      • 函数的期望
        • y=g(x)
          • d.r.v
          • c.r.v
        • z=g(xy)
          • d.r.v
          • c.r.v
  • 方差
    • 定义/计算
    • 性质
      • D(c)=0
      • D(cX)=c²D(X)
      • D(X+c)=D(X)
      • D(X+/-Y)=D(X)+D(Y)+/-2cov(x,y) 当X，Y独立时D(X+/-Y)=D(X)+D(Y)
      • chebyshev inequality
    • 几种分布的方差
      • （0-1）分布 D(X)=p(1-p)
      • 泊松分布 X～π(λ) D(X)=λ
      • 平均分布 D(X)=(b-a)²/12
      • 指数分布 D(x)=θ²
      • 二项分布 X～N(μ,σ²) D(X)=np(1-p)
      • 正态分布 D(X)=σ²
    • 协方差与相关系数
      • 定义 p106
        • 协方差
        • 相关系数
      • 性质
        • cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
        • X=Y时 cov(X,Y)=D(X)
        • cov(X,c)=0
        • cov(aX,bY)=ab cov(X,Y)
        • cov(aX₁+bX₂,Y)=a cov(X₁,Y)+b cov(X₂,Y)
        • 对于二维正态分布(X,Y)～N(μ₁,μ₂,σ₁²,σ₂²,ρ), cov(X,Y)=σ₁σ₂ρ
  • 矩，协方差矩阵
    • k阶原点矩
    • k阶中心矩
    • k+l阶混合矩
    • k+l阶混合中心矩
• 大数定律中心极限定理
  • 弱大数定理
    • 伯努利大数定理
  • 中心极限定理
    • 独立同分布的中心极限定理
    • 李雅普诺夫定理
    • De Moivre-Laplace定理
• 随机变量及其分布
  • 离散型
    • (0-1)分布
    • n重伯努利实验与二项分布
    • 泊松分布
  • 连续型
    • 分布函数
      • 性质
        • F(x)是不减函数
        • 0≤F(x)≤1
        • 右连续
    • 概率密度
      • f(x)=F′(x)
    • 三种重要类型
      • 均匀分布
      • 指数分布
      • 正态分布
• 基本概念
  • 随机试验
  • 样本空间
  • 随机事件
    • 基本事件
    • 必然事件
    • 不可能事件
    • 事件的关系与运算
      • A包含于B
      • A∪B 和事件
      • A∩B 积事件
      • A-B 差事件
      • A∩B=∅ 互斥
      • A∪B＝S且A∩B＝∅ 互逆
      • 运算定律
        • 交换律
        • 结合律
        • 分配律
        • 德摩根律
  • 频率与概率
    • 频率f(A)
      • 性质
        • 0≤f(A)≤1
        • f(S)=1
        • A1,A2,A3,...An两两互不相容则 f(A1∪A2∪...∪An)=f(A1)+f(A2)+...+f(An)
    • 概率
      • 满足条件
        • 非负性
        • 规范性
        • 可列可加性
      • 性质
        • P(∅)=0
        • 有限可加性 A1,A2,A3,...An两两互不相容则 P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)
        • 若A包含于B，则P(A-B)=P(A)-P(B)
        • 任意事件A P(A)<1
        • 事件A与其逆事件概率之和等于一
        • 加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
  • 古典概型（等可能概型）
  • 条件概率
    • 定义
    • 性质
    • 全概率公式
    • 贝叶斯公式
  • 独立性
    • 定义
    • 两个定理
• 多维随机变量及其分布
  • 二维随机变量
    • 定义
    • F(x,y)性质 P61
    • f(x,y)性质 P63
  • 边缘分布
  • 条件分布
    • 定义
    • 性质 P68
  • 相互独立的随机变量
  • 两个随机变量的分布 P76
    • Z=X+Y的分布
    • Z=XY,Z=X/Y的分布
    • M=max(X,Y),N=min(X,Y)的分布