概率论知识总结

重点来了！大学概率论知识梳理。知识点包括但不限于以下几点：什么是随机事件？常见的两种随机变量及其分布类型是什么？常见的多维随机变量及其分布类型又是什么？数学期望、方差它们的性质与计算方法等等。小伙伴们，赶紧收藏起来吧！

概率论

数字特征

数学期望

性质

E(c)=c E(cX)=cE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

X,Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y)

计算

E(X)

d.r.v

c.r.v

函数的期望

y=g(x)

d.r.v

c.r.v

z=g(xy)

d.r.v

c.r.v

方差

定义/计算

性质

D(c)=0

D(cX)=c²D(X)

D(X+c)=D(X)

D(X+/-Y)=D(X)+D(Y)+/-2cov(x,y) 当X，Y独立时D(X+/-Y)=D(X)+D(Y)

chebyshev inequality

几种分布的方差

（0-1）分布 D(X)=p(1-p)

泊松分布 X～π(λ) D(X)=λ

平均分布 D(X)=(b-a)²/12

指数分布 D(x)=θ²

二项分布 X～N(μ,σ²) D(X)=np(1-p)

正态分布 D(X)=σ²

协方差与相关系数

定义 p106

协方差

相关系数

性质

cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

X=Y时 cov(X,Y)=D(X)

cov(X,c)=0

cov(aX,bY)=ab cov(X,Y)

cov(aX₁+bX₂,Y)=a cov(X₁,Y)+b cov(X₂,Y)

对于二维正态分布(X,Y)～N(μ₁,μ₂,σ₁²,σ₂²,ρ), cov(X,Y)=σ₁σ₂ρ

矩，协方差矩阵

k阶原点矩

k阶中心矩

k+l阶混合矩

k+l阶混合中心矩

大数定律中心极限定理

弱大数定理

伯努利大数定理

中心极限定理

独立同分布的中心极限定理

李雅普诺夫定理

De Moivre-Laplace定理

随机变量及其分布

离散型

(0-1)分布

n重伯努利实验与二项分布

泊松分布

连续型

分布函数

性质

F(x)是不减函数

0≤F(x)≤1

右连续

概率密度

f(x)=F′(x)

三种重要类型

均匀分布

指数分布

正态分布

基本概念

随机试验

样本空间

随机事件

基本事件

必然事件

不可能事件

事件的关系与运算

A包含于B

A∪B 和事件

A∩B 积事件

A-B 差事件

A∩B=∅ 互斥

A∪B＝S且A∩B＝∅ 互逆

运算定律

交换律

结合律

分配律

德摩根律

频率与概率

频率f(A)

性质

0≤f(A)≤1

f(S)=1

A1,A2,A3,...An两两互不相容则 f(A1∪A2∪...∪An)=f(A1)+f(A2)+...+f(An)

概率

满足条件

非负性

规范性

可列可加性

性质

P(∅)=0

有限可加性 A1,A2,A3,...An两两互不相容则 P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)

若A包含于B，则P(A-B)=P(A)-P(B)

任意事件A P(A)<1

事件A与其逆事件概率之和等于一

加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

古典概型（等可能概型）

条件概率

定义

性质

全概率公式

贝叶斯公式

独立性

定义

两个定理

多维随机变量及其分布

二维随机变量

定义

F(x,y)性质 P61

f(x,y)性质 P63

边缘分布

条件分布

定义

性质 P68

相互独立的随机变量

两个随机变量的分布 P76

Z=X+Y的分布

Z=XY,Z=X/Y的分布

M=max(X,Y),N=min(X,Y)的分布