函数的连续性

函数的连续性的思维导图，如设函数f (x)在点x0的某个邻域内有定义, 若lim (x→x0)f (x)=f (x0),则称f (x)在点x0处连续。

函数的连续性

• 函数连续性的概念
  • 函数在一点X0处的连续性
    • 定义：设函数f (x)在点x0的某个邻域内有定义, 若lim (x→x0)f (x)=f (x0),则称f (x)在点x0处连续。
    • 实质：函数在X0的数值与其邻近点的数值之间没有突变或断裂。
  • 函数在X0连续的充要条件
    • 函数在该点存在
    • 函数在该该点的左极限和右极限存在
    • 函数在该点处的函数值相等
  • 函数在区间（a，b）内的连续性：
    • 如果函数 f(x)在区间(a,b)内每一点都连续,则称函数f(x)在(a,b)内连续。
  • 函数在区间【a，b】上的连续性：
    • 如果函数 f(x)在区间(a,b)内每一点都连续,f(x)在x=a 点右连续,在 x=b 点左连续,则称函数f(x)在区间【a，b】上连续。
• 间断点
  • 函数在一点X0处间断等价于函数在一点X0不连续
    • 如何判断在X0间断
      • 1.函数在X0处无定义
      • 2.函数在 X0处虽有定义，但在X0处的极限不存在
      • 3.函数在X0处虽有定义，且在X0处的极限存在，lim (x→x0)f (x)不等于f (x0)
    • 如何判断间断点的类型
      • 第一类间断点（x0）左极限和右极限都存在
        • 可去间断点：f (x0-)=f（x0+）
        • 跳跃间断点：f（x0-）≠f（x0+)
      • 第二类间断点（左极限及右极限至少有一个不存在)
        • 无穷间断点：其中有一个为∞
        • 震荡间断点：其中有一个为震荡
  • 几何表现：断开的点
• 初等函数的连续性
  • 定理
    • （1)f(x)+g(x)₀x₀在x₀点连续
    • （2)f(x)⋅g(x)在₀x₀。点连续
    • （3)当₀g(x₀)≠0时,f(x)/g(x)₀x₀在x₀点连续
  • 结论
    • 设函数u=ϕ(x),当₀x+x₀时极限存在且等于a，即函数y=f(u)在相应点u=a连续，即limu→af(u)=f(a),limx→xϕ(x)=a;则复合函数.y=f[φ(x)]当₀x→x₀时的极限也存在且等于f结论limx→xf[φ(x)]=f(a).
• 闭区间上连续函数的性质
  • 定理：1、(最大值、最小值定理) 闭区间[a，b]上的连续函数f(x)在该区间上至少取得它的最大值M和最小值m各一次. 2、（介值定理) 设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,且A=f(a)≠f(b)=B,C为A与B之间的任意一个值,则在开区间(a,b)内至少存在一点 ,使 f(ξ)=C,
  • 结论： 1.y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,且 f(a)·f(b)<0时,则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使f(ξ)=0。 2.闭区间[a,b]上的连续函数 f(x)一定有界. 因为 m≤f(x)≤M,取k=max{|m|,|M|}>0,所以当x∈[a,b]时,有|f(x)|≤k成立