高数第一章函数与极限

高等数学第一章详细知识点，复习使用，不想在笔记本里找来找去，翻来翻去。

函数与极限

• 极限
  • 1.无穷小(就是以0为极限)
    • 1.无穷小的比较(低阶,同阶,等价,K阶)
    • 2.无穷小的基本性质
      • 1.无穷小的和，差，积也是无穷小
      • 2.常数与无穷小的积是无穷小
      • 3.|limf(x)-A|=a,a->0,则limf(x）=A
    • 3.等价无穷小的性质
      • 1.a=b=>b=a(等价无穷小是双向等价可以相互替换)
      • 2.a=b,b=c=>a=c
      • 3.a=a1,b=b1,且limb1/a1=A,则,limb/a=A
    • 4.x->0时常用的等价无穷小
      • 1.x=sinx=tanx=arcsinx=arctanx=ln(1+x)=e^x-1
      • 2.1-cosx=x^2/2,1-cos^ax=a/2*x^2
      • 3.(1+x)^a=1-ax
      • 4.a^x-1=xlna
      • x->0时的等价无穷小注意是可以双向替换
  • 2.极限的性质
    • 1.极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等
    • 2.唯一性(极限都是唯一的)
    • 3.保号性（x->a时的极限A>0(A<0)，则必存在&>0，使得在a的去心领域内的函数值均大于0(小于0)),极限正，则去心领域正，极限负，则去心领域负。注，保号性可用于由极限求去心领域，也可以用于由去心领域求极限
    • 4.存在性
      • 1.夹逼准则
        • an<=bn<=cn,liman=limcn=A,则limbn=A(an,cn将bn夹在中间,且两边的极限相等都为A，则bn的极限也为A)
      • 2.单调有界
        • 如果存在K>0，对任意的n均有|an|<=k，则称an有界，an有界表示它既有上界又有下界。
        • 有界与极限的联系：如果是单调递增数列，它天然有下界，若证明其有上界M，则n－>♾时的极限存在，且为M，若其没有上届，则n->♾时的极限为+♾。如果是单调递减数列，则它天然有上界，若证明其有下界M，则n->♾时的极限存在且为M，若其没有下界，则n->♾时的极限为－♾。
  • 3.注意事项，方式方法
    • 1.当f(x)是a^n/x--b形式时(即f(x)中含有指数函数，且指数为分数，x-b种形式在分母中，则在讨论极限时要分左趋近和右趋近
    • 2.两个重要极限：limx->0(sinx/x)=1,limx->0((1+x)^1/x)=1
    • 3.n项和求极限的方法
      • 1.如果n项和可以求出，则先求出n项和，在求极限
      • 2.将n项和稍微扩大，或缩小，找到两个式子，将原式子夹在中间，使用夹逼定理（两边的式子的极限存在且相等），夹逼定理要n项和不能直接求出，且分母或分子的次数有一个不齐，如1/(n^2+1)+1/(n^2+2)+...+1/(n^2+n)在这个式子中，分母均为0次为齐次，但分子的两项中，n^2为2次，1,2,3...n为1次，次数不齐。n项和不能直接求出，且分母次数不齐，使用夹逼定理
      • 3.定积分定义来求解（要求，分子所有项和分母所有项的次数都齐，且分母项的次数比分子项的次数多一。求解方法：笔记本P5
      • 对呀n项和求极限，先判断这n项和能不能求出来，再看分子，分母的次数是否齐次
    • 4.不定型极限
      • 1.0/0型
        • 1.等价无穷小，在乘法中可以无限使用等价无穷小，但在加减法中要注意条件，如果在加减法中使用了等价无穷小之后x的次数相同，则在加减法中可以使用等价无穷小，否则就不能使用等价无穷小
        • 2.洛必达法则
        • 3.麦克劳林公式
        • 4.习惯性技巧
          • 1.见到u(x)^v(x)型，变为e^v(x)lnu(x),即只要见到底和指数都含有x，就变为e^v(x)lnu(x)
          • 2.x->0时，只要见到ln(.......)立即想办法凑出ln(1+x)
          • 3.看到(...)-1联想到e^x-1=x,(1+x)^a=ax
          • 4.x,sinx,tanx,arcsinx,arctanx任意两个之差是三阶无穷小
      • 2.1^♾型，见到1^♾型，就想办法凑出(1+x)^1/x,limx->0（（1+x）^1/x）=e
      • 3.♾/♾
        • 对数函数/幂函数，在x->+♾，且对数函数和幂函数都趋向于+♾时，极限为0
        • 幂函数/指数函数，在x->+♾，且分子分母都趋于+♾时，极限为0
        • lim(amx^m+...+a1x+a0)/(bnx^n+...+b1x+b0)=(当m<n,这个极限为0，当m>n时，这个极限为♾，当m=n时，这个极限为am/bn
      • 4.0*♾型
        • 1.化为0/1/♾，即化为0/0型
        • 2.化为♾/1/0型，即化为♾/♾型
      • 5.♾－♾型
        • 属于♾－♾型，且式子里面有分数且分数含有x，且该分数极限为♾，则通分
        • ♾－♾型，且没有分数的极限是♾，则提取转化为其它型
      • 6.♾^0,0^0型，见到这两种形式直接改为e^ln
  • 4.连续与间断
    • 1.单点连续，limx->a(f(x)=f(a),则，f(x)在a处连续，即函数在a处的极限，与函数在a处的函数值相等，则函数在a处连续，所以f(x)在a处连续要求f(x)在a处的极限存在且等于f(a) ，即f(x)在a处的左极限和右极限都存在且都等于f(a)
    • 2.间断，函数在a处的极限不等于函数在a处的函数值，则a就是函数的间断点
      • 1.第一类间断点，f(x)在a处的左极限和右极限都存在，如果，左极限右极限相等则为可去间断点，如果左极限和右极限不相等，则为跳跃间断点
      • 2.第二类间断点，左极限和右极限至少有一个不存在
      • 间断点的分类，首先看它的左极限和右极限是否都存在，是，则为第一类间断点，在看它的左极限和右极限是否相等来区分可去间断点和跳跃间断点。否，则直接为第二类间断点
    • 3.初等函数在定义域内必连续
    • 4.在闭区间上连续的函数的性质
      • 1.最小值最大值定理，f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上必定存在最大值和最小值
      • 2.有界性，在闭区间上连续的函数必定有界
      • 3.零点定理：f(x)在[a,b]上连续，且，f(a)*f(b)=0，则在(a,b)内至少存在一个点c，使得f(c)=0
      • 4.介值定理：f(x)在[a,b]上连续，则对于每一个介值(介值即是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值之间的值），都至少存在一个c属于[a,b]，使得f(c)=那个介值
      • 零点定理，零点取值区间为开区间(a,b)，介值定理，取值区间为闭区间[a,b]
• 函数
  • 复合函数
  • 反函数
  • 基本初等函数
  • 初等函数
    • 1.由常数和基本初等函数，经过四则运算或复合运算而成的式子