导图社区线性代数-矩阵

线性代数-矩阵

较全面的概括了线性代数矩阵相关的知识。在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合 [1] ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

编辑于2021-04-14 09:06:24

线性代数矩阵

～zZ～

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线性代数-矩阵
较全面的概括了线性代数矩阵相关的知识。在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合 [1] ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

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线性代数-矩阵
较全面的概括了线性代数矩阵相关的知识。在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合 [1] ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

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矩阵

考点

概念运算

乘法

6个符号

分块矩阵技巧

伴随矩阵可逆矩阵

初等变换、初等矩阵

矩阵的秩

概念

mxn个数排列成m行n列的一个表格

m=n时，叫n阶矩阵

元素全为0位零矩阵O

矩阵是表格，行列式是数

常规矩阵

单位矩阵

主对角线全为1，其他全为0

对角矩阵

非主对角元素都是0的矩阵，记作^

数量阵

上下三角矩阵

对称矩阵

AT = A

反对称矩阵

AT = -A

矩阵的运算

加法

同形矩阵对应位置分别相加

数乘

kA=k×A每一个位置元素

乘法

运算法则

加法

A+B = B+A

(A+B)+C = A+(B+C)

A+O = A

A-A=O

数乘矩阵

k(mA) = (km)A = m(kA)

(k+m)A = kA+mA

k(A+B) = kA+kB

1A = A, 0A=O

乘法

(AB)C = A(BC)

A(B+C) = AB + AC

(B+C)A = BA + CA

注

矩阵乘法一般不满足交换律：AB≠BA(多数)

两个不为0的矩阵乘积可能为0：AB=0 ＝/＝＞A=0或B=0

矩阵乘法没有消去律：AB = AC 且A≠0 ＝/＝＞ B=C

转置

(AT)T = A

(A+B)T = AT+BT

(λA)T = λAT

(AB)T = BTAT

（Aⁿ）T＝（AT）ⁿ，n为正整数

若A为方阵，

对称矩阵（AT＝A）

定义

形如aij = aji的矩阵

公式

反对称矩阵（AT＝-A）

定义

形如aij = -aji,aii = 0的矩阵

公式

方阵行列式的运算规律

|AT|＝|A|

|λA|＝λⁿ|A|，λ是数

A，B均是n阶方阵，则|AB|＝|A||B|

伴随矩阵

定义

由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的矩阵

记作A*，注意排列方式

运算性质

A*A = AA* = |A|E

如果A可逆

四个新公式P41

(A*)^（-1）= ［A^（-1)］* = A/|A|

|A|≠0

(A*)T = (AT)*

|A*| = |A|^(n-1)

(kA)* = k^(n-1)A*

(A*)* = |A|^(n-2)A

n≥2，且|A|≠0

A，B可逆，则（AB）*＝B*A*

A* = |A|A^（-1）

求法

公式法

注意： A可逆且A逆容易求

定义法

注意：（1）不要丢+，-号（2）不要排错队，竖着写，避免得到伴随的转置

伴随矩阵的秩r(A*)

n r(A)=n

1 r(A)=n-1

0 r(A)<n-1

例： r(A)=0,1,2,3,4,5 r(A*)=0,0,0,0,1,5

可逆矩阵

定义

A是n阶方阵，存在n阶矩阵B，使得AB = BA = E 则称A是可逆矩阵(非奇异矩阵)，B是A的逆矩阵

记作A^-1 = B

定理

定理1

若A可逆，则A的逆矩阵唯一

A^-1

定理2

A可逆 <=> |A|≠0

定理3

A,B为n阶可逆矩阵，且AB=E, 则BA=E

定理4

A、B是n阶方阵，如果AB=E,则A可逆，且B是A的逆矩阵

充分必要条件

存在矩阵B，使得AB=E (BA=E)

|A|≠0或r(A) =n或A的行(列)向量线性无关

A的特征值全不为0

非齐次方程组Ax=b有唯一解

齐次方程组只有唯一解

性质

(kA)^-1 = 1/k A^-1

若A,B为同阶可逆矩阵，则(AB)^-1 = B^-1A^-1

(A^2)^（-1）= ［A^（-1)］^2

若A可逆，则AT也可逆，(AT)^-1 = (A^-1)T

A^（-1） ^（-1） = A

|A^（-1）| = 1/|A|

注

一般(A+B)^-1≠A^（-1）+B^（-1 ）

求法

法一

A^（-1）= A*/|A|

法二

初等变换：(A|E)--初等行变换-->［E|A^（-1)］

由上向下变成上三角

由下往上变对角

行×k变主线为1

法三

求B，使AB = E = BA, A^（-1）= B

定义法 B=(E+A)^（-1）•(E-A), 求(B+E)^-1?

法四

分块矩阵求

主线

（C和O未必是方阵）

副线

法五

初等矩阵的求逆

性质

证明矩阵(A...)可逆

存在B，使AB = E = BA => A^（-1 ）= B

反证法

(A..)不可逆，则|(A...)|==0（结合方程组有无解）

|(A...)|≠0

齐次方程组只有唯一解

分块矩阵

定义

将矩阵A用若干横线和竖线分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵

分块矩阵的运算

加法

A和B同型，A和B分块方法一样，则A+B＝各分块相加

数乘

kA＝k×各分块

乘法

转置

分块对角矩阵

定义

性质

|A|＝|A1|•••|Am|

初等变换、初等矩阵

概念

初等变换（左行右列）

A的某两行(列)互换

k×A的某一行(列) (k≠0)

A的某行(列)的k倍加到另一行(列)

等价矩阵

A经过有限次初等变换变成B，A与B等价

等价充分必要条件

存在可逆矩阵P与Q，使PAQ = B

或r(A)=r(B)

行阶梯矩阵（不唯一）

定义

非零行主元都是1

主元所在列其他元素都是0

用法

求矩阵的秩

其他

行最简矩阵（唯一）

定义

如果有零行，则零行在底部

非零行的主元，列指标随行指标递增

标准型矩阵（唯一）

定义

左上角是一个单位矩阵

其余元素全为0

初等矩阵

定义

单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

类型

倍乘初等矩阵----E(i(k))

互换初等矩阵----E(i,j)

倍加初等矩阵----E(ij(k))

E（i，j（k））表示将第j行的k倍加到第i行上去，或表示将第i列的k倍加到第j列上去

定理

初等矩阵初等变换后仍是初等矩阵

初等矩阵左乘(右乘)A，相当于对A做初等行变换(列变换)

矩阵An可逆的充分必要条件：它能表示成有限个初等矩阵的乘积 A＝P1P2...Pn

初等矩阵的逆

倍加矩阵--逆-->倍加数变成相反数

互换矩阵--逆-->不变

倍乘矩阵--逆-->倍数变倒数

初等矩阵的n次方

倍加矩阵--N-->倍加数的n倍 (nk)

倍乘矩阵--N-->倍乘数的n次方

互换矩阵

N为偶数---->单位矩阵

N为奇数---->矩阵不变

题型

给定下标，找行(列)变换 P48L2.20

运用到初等矩阵的逆 P48L2.21

一段A变换的描述得到E，求A*... P48L2.23

已知AX＝C，求X

X＝A^（-1）C，求X，(A|C)--初等行变换-->［E|A^（-1)C］

已知XA＝C，求X

X＝CA^（-1），求X，(A/E)--初等行变换-->［E/A^（-1)］

可看作ATXT＝CT，XT＝［（AT）^（-1）］CT，求XT，(AT|CT)--初等行变换-->［E|AT^（-1)CT］

正交矩阵<二次型>

AAT = ATA = E则A是正交矩阵

A是正交矩阵 <=> A^-1 = AT

正交矩阵一定是可逆的！！！

正交矩阵行列式为 1 -1

(行)列向量两两垂直

注意几何意义

行(列)向量是单位向量 P52

可以直接用于判断一个矩阵是否是正交矩阵

注

对称矩阵求特征向量构造正交矩阵常见错误 P52L2.28

矩阵行列式

|AT| = |A|

|kA| = k^n|A|

|AB| = |A||B|

AB都是n阶 |A^2|=|A|^2

|A*| = |A|^(n-1)

|A^-1| = |A|^-1

分块矩阵行列式

AB在主线

|A||B|

AB在副线

(-1)^mn|A||B|

注

一般 |A+-B| != |A|+-|B|

其他矩阵

对称矩阵

定义

形如aij = aji的矩阵

公式

反对称矩阵

定义

形如aij = -aji,aii = 0的矩阵

公式

对角矩阵

定义

非主对角元素都是0

正交矩阵

定义

公式

分块矩阵

定义

将矩阵用若干纵线横线分成许多小块

每小块称为原矩阵的子矩阵（子块）

子块看成原矩阵的一个元素

运算法则

加

乘

转置

n次方

逆

转置矩阵

定义

公式

矩阵的秩

k阶行列式

mxn矩阵A 中，任取k行k列（k<=m,k<=n）,交叉的k^2个元素构成一个k阶行列式，称其为A的k阶子式

定义

mxn矩阵A中，存在r阶子式不为零，r阶以上子式均为零，则矩阵A的秩为r，记为R(A),R(零矩阵)=0

特性（A为m×n方阵）

R（A）≤min(m,n)

R(A)≠0 <=>R(A)≥1

A不是零矩阵，则R(A)≥1

r(A)=r <=> 矩阵A中非零子式最高阶数是r

r(A)<r <=> A中每一个r阶子式全为零

r(A)>=r <=> A中有r阶子式不为零

r(A)=0 <=> A=O

若A为n阶矩阵

r(A)=n <=> |A|≠0 <=> A可逆

r(A)<n <=> |A|=0 <=> A不可逆

公式

r(A) = r(AT); r(ATA) = r(A)

r(ATA) = r(A)联想同解

k ≠ 0时，r(kA) = r(A); r(A+B) <= r(A)+r(B)

r(0E-A)=r(A)

r(A-E)=r(E-A)

r(AB) <= min( r(A), r(B) ) max( r(A), r(B) ) <= r(A, B) <= r(A) + r(B)

若A可逆，则r(AB) = r(B), r(BA) = r(B)

若A是mxn，B是nxs，AB=O

r(A)+r(B) <= n

B的列向量是Ax=0的解

A为n阶，B!=0意味着Ax=0有非零解也就意味着|A|=0

A(A+kE)=0

A有特征值0或k

分块矩阵r(A,O O,B) = r(A)+r(B)

定理

定理7：经过初等变换的矩阵的秩不变

定理8：三秩相等

A的秩r(A) = A的行秩r(α1...αm) = A的列秩r(β1...βn)

1.将A按行按列分块 Amxn = [α1...αm]T = [β1...βn] 2.行秩、列秩根据行列分块后极大线性无关组判断

伴随矩阵可逆矩阵

伴随矩阵

重要公式

A*A = AA* = |A|E

若A可逆

四个新公式P41

A^-1(A^-1)* = |A^-1|E

求法

公式法

定义法

伴随矩阵的秩

可逆矩阵

概念运算

乘法

6个符号

设ab都是列向量

矩阵：abT,baT,aaT 数：bTa,aTb,aTa

abT,baT,aaT，秩为1的矩阵

r(A)=1 A^2 = 迹xA

A^n = 迹^(n-1) xA

为内积，也为对应不得零的特征值

abT baT是转置关系

aaT,bbT是对称矩阵

迹关系

a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)

ai,bi为列向量

|abT|=0

r(abT)=0或1

分块矩阵P35

可能用到的情况

A^n，A^-1

向量、方程组

行列向量求法

加法

乘法

转置

n次方P35

只有主对角线运算的n次方，没有关于副对角线的公式

逆P35

主对角线，副对角线都有

矩阵的n次方

秩为1矩阵的n次方P38

A^n = k^(n-1)A k = A的迹一般选择题

主对角线为1的上三角矩阵n次方

转换成 (E+B)^n 的形式

E^n+nE^(n-1)B+n(n-1)/2 E^(n-2)B

三角块矩阵的i次规律P38

三阶的平方四阶的三次方都有快速求法

相似

P^-1AP=B =>A~B

P^-1A^nP=B^n =>A^n~B^n

求A^n,用过B^n来求，而B一般为^,A~^ P为A的特征向量，^为特征向量

分块