高代第七章线性变换

数学系高等代数第七章线性变换纲要。如果说高等代数或者线性代数中，最重要的内容是什么？那一定是线性变换以及它与矩阵之间的关系，理解了这个主题可以帮助你打开线性代数大门，让线性代数其它的的内容变得一目了然。

线性变换

• 映射
  • 单射（原不同像不同），满射（像有原像），双射（一一对应）
    • 引出变换定义
      • 例题
        • 多项式
        • 连续函数
        • 方阵
        • 线性变换L（Vn₍ ₚ₎）
          • 简单性质
            • A(0)=0
            • 若原像线性相关，像线性相关 …线性无关，…不确定
            • 像线性无关，原像线性无关
            • A=B,像相同
          • 运算
            • 加法
            • 数乘
            • 乘法（类似复合函数）
              • 不满足交换律
              • AΒ=ΒA=ε，A为可逆变换
              • Aⁿ=n个A相乘
            • A的多项式
          • 线性变换的像与核
            • 概念
              • 
                • KerA线性变换的核，IₘA线性变换的像
                  • 基本性质
                    • 非空
                    • 加法数乘封闭
                    • 都是V的子空间
                    • 
                      • IₘA的秩是Aαᵢ的秩
                  • 例子
                    • 
                      • IₘD的秩为n-1，D为多项式,KerD的秩为1
                      • 
                        • 给定方阵A,KerA可转换为AX0，其秩为n-r(A),IₘA的秩为r（A）
            • sylvester定理（维数公式）
              • 定义
                • 一个线性变换的核的秩与像的秩的和是线性空间的秩
                  • 证明:KerA的基扩充，得到IₘA的基，证明基线性无关
            • 例子
              • A²=A充要条件KerA={α-Aα┃α∈V}
                • 证明左右集合包含
              • A²=A充要条件KerA={α-Aα┃α∈V}
                • 证明左右集合包含，（Aα）=A（Aα）
              • 幂等变换，核和像直和为线性空间
                • 证明：先证交为0，再证和为V子空间，利用维数公式得到直和的秩为V的秩，构造分解式，由剩余俩例子得V属于核和像
            • 定义
              • 核的秩称线性变换的零度，像的秩为线性变换的秩
            • 用像与核刻画线性变换的特点
              • 像为零集为线性变换为零变换，核为全集
              • 线性变换为单射充要条件核为零集
              • 线性变换为满射充要条件像为全集
              • 线性变换单射充要满射
              • 可逆变换
          • 线性变换的矩阵表达
            • 像与原像的表达
              • 线性变换的特征由基向量的像来决定
              • 命题一
                • 两个线性变换相等，基的像相同
              • 命题二
                • 基的线性变换是V的一组向量
              • 命题三
                • 唯一线性变换
            • 线性变换的矩阵表达
              • 方阵是线性变换A在给定基下的矩阵
                • 性质
                  • 方阵是一个n阶方阵
                  • 方阵唯一
                  • 一个方阵对应一个线性变换
                  • 线性变换与方阵同构，秩为n的平方
                • 例题
                  • 基的像，像的坐标（按列写）
                • 定理（一组基）
                  • 线性变换与方阵一一对应
                  • 线性变换相加等于矩阵相加
                  • 数乘
                  • 乘积
                  • 可逆变换，可逆方阵
                • 例题
                  • 4维线性空间，原像坐标，
            • 线性变换在不同基下矩阵的关系
              • 一组基=另一组基乘过渡阵
                • B=S⁻¹AS
                  • 两组基相似
                    • 基本性质
                      • 秩相同
                      • 方阵对应行列式值相同
            • 特征值与特征向量（线性变换（方阵）的对角化）
              • 概念
                • Aζ=λζ，λ是特征值，ζ是特征向量
              • 性质
                • 非零向量，期望可以做基
                • 数乘也为特征向量
                • 不同特征值的特征向量之间线性无关
                  • 证明:列线性式化简证明系数都为0
              • 求法
                • 定义
                  • 方阵ÄX=λX,λ为方阵的特征值，X为特征向量
                • 命题
                  • X为ζ的相应坐标
                • 建立方法
                  • ┃ζE-Ä┃=0，代λ求特征向量X，求X对应的ζ，新ζ为基，λ为对应坐标