第二章-一元函数微分学

山东专升本高数三第二章—一元函数微分学。 介绍一元函数微积分与微分方程的基本知识，内容包括：函数、极限与连续，导数与微分，中值定理与导数的应用，定积分与不定积分，定积分的应用以及微分方程。 收藏下图学起来

导数与微分

• 导数的概念
  • 导数第一定义式及推广式：
    • 考点：抽象函数求导
  • 导数第二定义式：
    • 考点：
      • 1.复杂函数在x=x0处的导数
      • 2.求分段函数在分段点处的导数（利用导数第二定义式讨论其左右导）
  • 可导与连续的关系：
    • 可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导
  • 求不可导点：
    • 分式（分母为0的点）不连续，绝对值（绝对值为0的点）不可导，特例：函数（x-x0）|x-x0|在x=x0处可导（绝对值外面有里面的分式则为可导点）
  • 导数的几何意义：
    • 该点处的导数=该点处的斜率
    • 考点：
• 导数与微分
  • 导数：
  • 微分：dy=y'dx/dy=f'(x)dx/f'(x)=dy/dx
• 微分中值定理
  • 罗尔定理
    • 若f(x)满足以下条件：1.在【a,b】上连续 2.在(a,b)上可导 3.f(a)=f(b) 则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0
  • 拉格朗日中值定理
    • 若f(x)满足以下条件：1.在【a,b】上连续 2.在(a,b)上可导 则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/b-a
• 洛必达法则
  • 方法：上下同导（适用0/0，∞/∞型，0*∞型，∞-∞型）
• 幂指型函数求极限（1^∞,0^0,∞^0型）
  • 方法：引入对数恒等式，即取e取ln
• 导数的应用
  • 判断单调性
    • 设y=f(x)在【a,b】上连续，在(a,b)内可导，则f'(x)＞0，函数单调递增；f'(x）＜0，函数单调递减；f'(x)=0，x=x0为驻点
    • 注意：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性
  • 求单调区间和极值
    • 求单调区间规定一阶导的符号求解
    • 极值
      • 定义：若f(x)在x0的邻域内，若恒有f(x)＞f(x0)，则f(x0)为极小值；恒有f(x)＜f(x0)，则f(x0)为极大值
      • 性质：1.极值不一定唯一 2.极小值不一定比极大值小 3.极值点不一定是驻点（y=|x|）4.驻点也不一定是极值点（y=x^3）
      • 可能的极值点：驻点（一阶导为0的点）、不可导点
      • 求解：1.求定义域 2.列出可能的极值点：驻点、不可导点 3.判断（方法1：利用左右两侧单调性 方法2：利用凹凸性）
  • 利用单调性证明不等式
    • 步骤：1.设f(x)=左-右 2.求导判断单调性 3.验证最大（小）值 4.得出结论
    • 补充：0＜x＜π/2时，sinx＜x、tanx＞x、ln(1+x)＜x
  • 凹凸性
    • 判定：如果f(x)在(a,b)内有二阶导数，若在(a,b)内，（1）f''(x)＞0，f(x)在【a,b】上的图形是凹的；（2）f''(x)＜0，f(x)在【a,b】上的图形是凸的；（3）f''(x0)=0或f''(x0)无意义，且左右两侧f''(x)异号，则x0为拐点
    • 应用：（1）求函数凹凸区间与拐点 （2）利用凹凸性判断极值类型（求极值）
  • 求闭区间上的最值
    • 定义：若对于任意x恒有f(x)≤f(x0)，则f(x0)为最大值
    • 步骤：1.列出可能的最值点：驻点、不可导点、区间端点 2.代值，比较函数值的大小
• 各类函数求导
  • 求导公式：
  • 运算法则：
  • 复合函数求导：
    • 方法：1.由外向内拆开 2.分别求导相乘
    • 总结：每一层求导相乘
  • 隐函数求导：y=f(x)由方程F(x,y)=0确定
    • 方法：左右同导法
    • 步骤：1.左右两边同时对x求导（把y看成x的函数）2.解出y’（y’中可以含有y）
  • 参数函数求导：
  • 分段函数求导（全区间）
    • 方法：各段内——直接求（利用求导公式直接求导） 分段点——定义求（导数第二定义式讨论左右导）
  • 幂指型函数/连乘式
    • 方法：对数求导法（1.左右两边同时取ln 2.左右两边同时求导（将y看成含有x的函数） 3.解出y’，回带y
  • 简单函数的高阶导：
• 浮动主题