高数第一章极限

这是一篇关于高数第一章极限思维导图，包含函数、数列极限、函数极限、极限运算法则等。

函数、极限与连续

• 函数
  • 集合与变量
    • 集合的缩写
      • 正整数集记作N+
      • 整数集记作Z
      • 有理数集记作Q
      • 实数集记作R
      • 全体复数集记作C
  • 邻域
    • 邻域记作U（a，b）=（a-b，a+b）
    • 去心邻域记作U°（a，b）=（a-b，a）∪（a，a+b）
  • 映射与函数的概念
    • 映射（作了解）
      • 映射
      • 复合映射
      • 逆映射
      • 概要
        • 一个人对应一个学号——单射
        • 如果全被对应——满射
        • 既是单射又是满射——一一映射
    • 函数
  • 函数的常用表示法
    • 绝对值函数 y=|x|
    • 取整函数y=[x]
    • 符号函数y=
      • 1，x>o
      • 0，x=0
      • -1，x<0
    • 狄利克雷函数y=
      • 1，x∈Q
      • 0，x∈R-Q
  • 函数特性
    • 有界性
      • 设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在一个正数M，使得对于D中某一个子区间任意一点x，总有|f(x)|＜M(即-M＜f(x)＜M)，则称函数f(x)在D上是有界的函数，否则是无界的函数。
      • 一个函数有界还是无界，必须指明所考虑的区间，因为同一个函数在某个区间上可能是有界的，但在另一个区间上却可能是无界的。
      • 既有上界也有下界，才能称为有界（界不唯一）
    • 单调性
    • 奇偶性
      • 满足f(-x)=f(x)则为偶函数
      • 满足f(-x)=-f(x)则为奇函数
      • 奇偶性函数四则运算后判断奇偶性可借鉴于负数的四则运算
    • 周期性
      • 狄利克雷函数没有最小正周期
  • 复合函数与反函数
    • 复合函数
      • 复合函数的本质为把一个函数分解为几个较简单的函数
      • 注意分解后的简单函数与原复合函数的定义域
    • 反函数
      • 设 A , B 为实数集，映射 f : A → B 的逆映射 f -1→称为 y = f ( x ）的反函数，即：若对每个 y∈B ，有唯一的 x∈A ，使 y = f ( x )，则称 x 也是 y 的函数，记作 f -1，即 x = f -1( y )
      • x = f -1( y )为函数 y = f ( x ）的反函数；y = f ( x ）为反函数 x = f-1 ( y ）的直接函数
      • 反函数与直接函数单调性一致（严格单调递增减）
      • 不是所有的函数都有反函数
      • 单射与一一映射一定存在反函数
  • 函数的基本运算
  • 初等函数
    • 初等函数由基本初等函数，经过有限次四则运算及有限次复合而成，并且能用一个解析式表达函数
    • 常数函数
    • 幂函数
    • 指数函数
    • 对数函数
    • 三角函数
    • 反三角函数
    • 基本初等函数
  • 经济学常用函数
    • 需求函数——通俗理解为售价
    • 成本函数——所支付的成本，一般为成本总额
    • 收益函数——需求函数✖供给函数
    • 供给函数——通俗理解为卖出的数量
    • 利润函数——所获取的利润
    • 了解
      • 做题中一般运用换元
• 数列极限
  • 数列极限的定义
    • 任意ε>0,存在N∈N＋，当n＞N时，有|Xn-a|＜ε，叫做”N-ε语言“（掌握定义法做题）
      • 定义法求极限四步骤
    • limXn=a和上述为充要条件
      • 有极限——收敛
      • 没有极限——发散
    • 当n＞N时，所有An落在U(a,ε)之外的最多有N个，有限个
  • 收敛函数的性质
    • 极限的唯一性
      • 如果数列收敛，那么他的极限唯一
    • 收敛数列的有界性
      • 收敛必有界（全体有界）
      • 有界不一定收敛
    • 收敛数列的保号性
      • 若lim（n→无限）=a，a>0（或a<0），则存在N>0，当n>N时，Xn>0（或Xn<0）.
      • 通俗可理解为如果极限值大于0，那么在N之后的Xn都大于0.
    • 收敛数列与其子列的关系
      • 数列收敛，那么其子列一定收敛
      • 奇偶子列都收敛，那么数列收敛
      • 一个发散数列也可能存在收敛的子列
      • 补充知识点
        • 原命题成立，逆否命题也成立
• 函数极限
  • 函数极限的定义
    • 函数极限与数列极限相差不大（在用定义法求极限时步骤一样）
    • 都是先有ε再有x，且x不唯一
    • 注意在求极限时有根号，判断其正负以及它的左右极限是否相等
  • 函数极限的性质
    • 函数极限的唯一性
      • 如果极限存在，则它的极限必唯一
    • 函数极限的局部有界性
      • 如果极限存在，则在X0的某去心邻域内，函数有界
    • 函数极限的局部保号性
      • 如果极限存在，且A>0(或A<0)则存在X0的某去心邻域，在此去心邻域内有f(x)>0(或A<0)
    • 函数极限与数列极限的关系
      • 又称归结定理和海涅定理，通俗理解为求函数极限可以转化为求数列极限，反之也可转化（这里指数列包含在函数里）
• 无穷大与无穷小
  • 无穷小
    • 定义
      • 在写无穷小量，要注意其自变量的变化趋势
      • 无穷小是以0为极限的变量，是一个函数，不是一个数
      • 0是唯一可以做为无穷小量的常数
      • 无穷小量定义对数列也适用
    • 极限与无穷小量之间的关系
      • 函数f(x)以A为极限的充分必要条件是：f(x)可以表示为A与一个无穷小α之和
  • 无穷大
    • 无穷大是一个变量，是一个函数，一个无论多么大的常数都不能作为无穷大量
    • 无穷大对数列也适用
    • 在写无穷大量，要注意其自变量的变化趋势
    • 函数的极限等于无穷大，只是一个记号，本质还是极限不存在
    • 水平渐近线是y=a,看当x-->无限时，是否存在极限y.
    • 铅直渐近线是x=a,看当x->a时，y是否为无穷大.
  • 无穷小与无穷大的关系
    • 若f(x)为无穷大，则f(x)分之一为无穷小
• 极限运算法则
  • 无穷小运算法则
    • 有限个无穷小相乘仍是无穷小
    • 小范围内有界叫做有界量
    • 有界量乘以无穷小量仍是无穷小量
    • 有限个无穷小之和仍是无穷小
  • 极限的四则运算法则
    • lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±g(x)=A±B
    • lim[f(x)*g(x)]=limf(x)*g(x)=A*B
    • limf(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=A/B(B≠0）
    • lim[f(x)]n次方=[limf(x)]n次方
    • 求极限的几种方法
      • 运用四则运算
      • 直接代入法
      • 分子或分母有理化
      • 找最高次
      • 利用两个重要极限公式
      • 等价无穷小
      • 约分
      • 通分
• 极限存在准则与两个重要极限
  • 极限存在准则Ⅰ（夹逼定理）
    • 如果一个函数，比它小的函数与比它大的函数的极限值相等，那么这个函数的极限值也为它（夹紧在逼近）
  • 极限存在准则Ⅱ（单调有界准则）
    • 单调有界数列必有极限
• 无穷小的比较
  • 无穷小的概念
    • 假设α(x),β(x)是同一极限过程的两个无穷小量
      • 若limα(x)/β(x)=0，则称α(x)为β(x)的高阶无穷小，记为α(x)=o(β(x))
      • 若limα(x)/β(x)=无限，则称α(x)为β(x)的低阶无穷小，记为β(x)=o(α(x))
      • 若limα(x)/β(x)=A，则称α(x)是β(x)的同阶无穷小，记为β(x)=O(α(x))【为1时是等价无穷小
      • 若在某极限过程中，α(x)是βk次方(x)的同阶无穷小量(k>0)，则称α(x)是β(x)的k阶无穷小量
  • 等价无穷小的性质
    • 在求极限的乘除运算中，无穷小量因子可用其等价无穷小量替代，但在加减运算中慎用
• 函数的连续
  • 连续函数的概念
    • 判断这个点否连续有两个要素
      • 这点处的极限值等于它的函数值
      • 这点处的左极限与右极限相等
  • 函数的间断点
    • 第一类间断点
      • 可去间断点(极限值不等于函数值)
      • 跳跃间断点(左右极限不相等)
      • 相同点
        • 有左右极限
    • 第二类间断点
      • 没有左右极限
  • 连续函数的运算与初等函数的连续性
    • 连续的四则运算
      • 设函数f(x)和g(x)都在x0处连续
        • f(x)±g(x)在点x0处连续
        • f(x)*g(x)在点x0处连续
        • f(x)/g(x)在点x0处连续(g(x)≠0)
    • 反函数和复合函数的连续性
      • 直接函数连续，反函数也连续
      • 基本初等函数连续，其复合而成的复合函数也连续
    • 初等函数额连续性
      • 其组成部分基本初等函数都连续，所以对初等函数在其定义区间内的点求极限时，只需求相应的函数值即可
  • 闭区间上连续函数的性质
    • 最值定理
      • 如果函数在一个闭区间上连续，那么它在该闭区间上取得最大值与最小值
    • 有界性定理
      • 闭区间上的连续函数一定是该区间上的有界函数
    • 零点定理
      • 在闭区间【a,b】上连续，且f(a)与f(b)异号，那么在开区间(a,b)内至少有一个点ξ(a<ξ<b),使f(ξ)=0
    • 介值定理
      • 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么在[a,b]上能取到介于其最大值M与最小值m之间的任何值