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考研数学

整理了所有考研数学涉及的知识大纲。所有的知识点都给大家整理出来了，平时背诵、查看很方便。都是根据个人对教材的理解整理所得，大家可以根据自己的复习情况进行增减。希望能帮助大家理清知识脉络、提高学习效率，祝大家考试顺利~

编辑于2021-04-29 15:28:36

ayuamate

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许秀全

考研数学

高等数学预备知识

一、函数的概念与特性

（一）函数

（二）反函数

（三）复合函数

（四）四种特性

有界性

单调性

奇偶性

周期性

二、函数的图像

（一）直角坐标系下的图像

（二）极坐标系下的图像

（三）参数方程

三、常用基础知识

第 2 讲数列极限

一、定义

二、用性质

（一）唯一性

（二）有界性

（三）保号性

三、用运算规则

四、用夹逼准则

五、用单调有界准则

求极限（或证明极限的存在性）

第 3 讲函数极限

一、函数极限

（一）邻域

（二）定义

（三）性质

唯一性

局部有界性

局部保号性

(四）运算规则

（五）夹逼准则

（六）洛必达法则

（七）泰勒公式

公式

展开原则

（八）归结原则

（九）无穷小比阶

七种未定式的计算

二、连续与间断

（一）连续点的定义

（二）间断点的定义与分类

可去间断点

跳跃间断点

无穷间断点

振荡间断点

第 4 讲一元微分学

一、概念

（一)引例

（二）导数的概念

（三）微分的概念

二、导数与微分的计算

（一）四则运算

和、差的导数（微分）

积的导数（微分）

商的导数（微分）

（二）分段函数的导数

在分段点处——导数定义

不在分段点处——直接求导

（三）复合函数的导数与微分形式的不变性

链式求导规则

一阶微分形式不变性

（四）反函数的导数

反函数的一阶导数

反函数的二阶导数

（五）参数方程所确定的函数的导数

直角坐标系

极坐标系

参数方程

（六）隐函数求导法

公式法

（七）对数求导法

取对数再

（八）幂指函数求导法

（九）高阶导数

归纳法

莱布尼茨公式

泰勒公式

（十）变限积分求导公式

基本求导公式（背）

三、几何应用

（一）极值与最值的概念

极值

最值

（二）单调性与极值的判别

单调性判别

判极值的必要条件

判极值的第一充分条件

判极值的第二充分条件

判极值的第三充分条件

（三）凹凸性与拐点的概念

凹凸性

拐点

（四）凹凸性与拐点的判别

凹凸性判别

判拐点的第一充分条件

判拐点的第二充分条件

判拐点的第三充分条件

（五）渐近线

铅锤渐近线

水平渐近线

斜渐近线

（六）最值或取值范围

闭区间[a,b]

开区间（a,b)

（七）作函数图像

第 5 讲中值定理

定理1——有界与最值定理

定理2——介值定理

定理3——平均值定理

定理4——零点定理

定理5——费马定理

定理6——罗尔定理

定理7——拉格朗日中值定理

定理8——柯西中指定理

定理9——泰勒公式

定理10——积分中值定理

第 6 讲零点问题和微分不等式

一、零点问题

（一)零点定理——（证存在性）

（二）单调性——（证唯一性）

（三）罗尔原话

（四）实系数奇次方程至少有一个实根

二、微分不等式

（一）用函数性态证明不等式

（二）用常数变量化证明不等式

（三）用中值定理证明不等式

第 7 讲一元积分学

一、概念

（一）不定积分

原函数与不定积分

原函数存在定理

（二）定积分

定积分的概念

定积分存在定理

定积分的性质

（三）变限积分

变限积分的概念

变限积分的性质

变限积分的求导公式

（四）反常积分

反常积分概念的通俗理解

无穷区间上反常积分的概念与敛散性

无界函数的反常积分的概念与敛散性

判敛

二、计算

（一）基本积分公式

（二）凑微分法

（三）换元法

（四）分部积分法

（五）有理函数积分

三、几何应用

（一）平面图形的面积

（二）旋转体的体积

（三）函数平均值

第 8 讲积分等式与积分不等式

一、积分等式

（一）用中值定理

（二）用夹逼准则

（三）用积分法

二、积分不等式

（一）用函数的单调性

（二）用拉格朗日中值定理

（三）用泰勒公式

（四）用积分法

第 9 讲多元函数微分学

一、基本概念

（一）平面点集的基本概念

（二）极限

（三）连续

（四）偏导数

（五）可微

（六）偏导数的连续性

二、多元函数微分法则

（一）链式求导规则

（二）隐函数存在定理（公式法）

三、多元函数的极值与最值

（一）概念

（二）无条件极值

隐函数

显函数

（三）条件极值与拉格朗日乘数法

闭区域边界上的最值

闭区域上的最值

第 10 讲二重积分

一、概念，性质与对称性

（一）几何背景

（二）性质

（三）对称性

普通对称性

轮换对称性

二、计算

（一）直角坐标系

（二）极坐标系

（三）极坐标系与直角坐标系选择的一般原则

（四）极直互化

（五）积分次序

（六）用二重积分处理一元积分问题

第 11 讲常微分方程

一、微分方程的概念

（一）微分方程

（二）常微分方程

（三）微分方程的阶

（四）微分方程的解

（五）微分方程的通解

（六）初始条件与特解

用概念解题

二、一阶微分方程的求解

（一）变量可分离型

（二）可化为变量可分离型

（三）一阶线性微分方程

（四）伯努利方程

三、二阶可降阶微分方程的求解

（一）y''=f(x,y')型

（二）y''=f(y,y')型

四、高阶线性微分方程的求解

（一）概念

（二）解的结构（二阶）

（三）二阶常系数齐次线性微分方程的通解

（四）二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

（五）n阶常系数齐次线性微分方程的解

第 12 讲数二专题

一、一元函数微分学应用

（一）物理应用

（二）相关变化率

（三）几何应用

二、一元函数积分学应用

（一）物理应用

变力沿直线做功

抽水做功

水压力

（二)几何应用

”平面上的曲边梯形“形心坐标公式

平面曲线的弧长

旋转曲面的表面积

平行截面面积为已知的立体体积

三、微分方程的几何应用

（一）牛顿第二定律

（二）变化率问题

项目计划

战略规划

市场机遇分析

制定计划

概括

危险指数

市场分析

SWOT 分析

公司前景

预计

成本

收入

营业额

盈亏

制定

现金流计划

启动方案

市场战略计划

发布商业计划

执行计划

商业位置

市场计划

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启动

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合伙人优势

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长期成效

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