高数：极限与连续

汤家凤第一章极限与连续考研数学高数基础。建议收藏！高等数学第一章函数，极限和连续全部重点知识点盘点！给你的期末考试助力，帮你拿下高分！考研党也用的到哦，助力考研！还不快收藏学起来！

极限与连续

• 极限
  • 概念
    • 极限
      • 定义
        • 无限接近但永远不等于
        • 两侧分别无限趋近同一个值
      • 性质
        • 与该点函数值无必然联系
      • 注意
        • 指数函数指数处含有分母需要分别讨论左右极限
        • 有极限的充要条件
          • 左右极限存在且相等
    • 去心邻域
      • 0<|x-a|<δ
    • 无穷小
      • 定义
        • 以0为极限的函数（无穷小是函数）
      • 比较
        • 用除法进行比较层次
        • 高阶无穷小
          • lim β/α = 0，β称为α的高阶无穷小
        • 同阶无穷小
          • lim β/α = k，β称为α的同阶无穷小
        • 等价无穷小
          • lim β/α = 1，β称为α的等价无穷小
  • 性质
    • 极限的性质
      • 一般性质
        • 唯一性
          • 极限存在必定唯一
        • 保号性
          • 极限第一保号性
            • 函数极限正，则去心邻域正；函数极限负，则去心邻域负
        • 存在性质
          • 作用
            • 判断极限是否存在
          • 夹逼定理
            • 分类
              • 数列型
              • 函数型
            • 使用
              • 根据原数列或方程找放大和缩小的数列或方程
              • 求上面两个极限
              • 两个极限相等，得出中间的极限
        • 有界性
          • 单调有界数列
            • 性质
              • 必有极限
            • 充分必要条件
              • 数列有上界和下界
            • 情形
              • An单调递增(有下界)
                • 无上界
                  • lim(n->oo) An = +oo
                • 有上界
                  • An <= M
              • An单调递减（有上界）
                • 无下界
                  • lim(n->oo) An = -oo
                • 有下界
                  • An >=M
    • 无穷小的性质
      • 一般性质
        • 有限个无穷小的和、差、积为无穷小
        • 常数和无穷小之积为无穷小
        • 有界函数与无穷小之积为无穷小
        • lim f(x) = A <==> f(x) = A + α, α->0
      • 等价性质
        • 1类
          • α ~ α
          • 对称性：α ~ β =>β ~ α
          • 传递性：α ~ β, β~γ =>α ~ γ
        • 2类
          • 若 α~α1， β~β1，且 lim β1/α1 = A，则 lim β/α = A
            • 等价无穷小替换
      • x->0时，常用等价无穷小
        • 
    • 两个重要极限
    • 常见不等式
      • 
  • 题型
    • n项和求极限
      • 先和后极限
        • 视频3 2:45 考得少，非重点
      • 夹逼定理
        • 使用情况
          • 求和求不出来
          • 分子次数或分母次数不齐
      • 定积分定义
        • 使用情况
          • 分子次数齐
          • 分母次数齐
          • 分母次数比分子多一次
        • 记
          • 
    • 极限存在性问题
      • 数列极限存在性证明
        • 证明数列单调
          • 数学归纳法
          • 
          • 重要不等式
            • 
    • 不定型极限
      • 
        • 0比0
          • 方法
            • 等价无穷小
            • 洛必达法则
            • 麦克劳林公式（提高篇讲解）
          • 习惯
            • 
            • 
            • 
            • 
              • 用于像
          • 误区
            • 加减法中等价无穷小替换问题-v3 53min
              • 精确度够时可以使用
                • 等价无穷小替换后分子分母同为n阶无穷小
                  • 
              • 精确度不够不可使用
                • 
        • 1的无穷次方
          • 
          • 第二步，恒等变形
      • 
        • oo/oo型
          • 增长速度与极限
            • 
            • 
            • 
        • 0xOO
          • 化为 0/0
          • 化为 oo/oo
        • oo-oo
          • 有分母通分计算
          • 无分母提取公因式等转换为其他型再运算
        • oo的0次方、0的0次方
          • 
      • 经验
        • 计算过程中能算出极限的部分（含x）先算出并分离，不参与后面的运算，简化运算
        • 可能需要多次使用等价无穷小替换
        • 经过运算后如果自变量变得复杂，可以换元简化自变量，注意趋近点也要对应改变
          • 
        • x->oo 时，算极限可以抓大放小，看次数高的，次数低的忽略
        • 0比0-习惯
• 连续与间断
  • 概念
    • 连续
      • fx在a点连续
        • 
        • 
      • fx在[a,b]连续
        • 
        • 
    • 间断
      • 定义
        • 
      • 间断点分类
        • 第一类间断点
          • 定义
            • 
          • 分类
            • 可去间断点
              • 
            • 跳跃间断点
              • 
        • 第二类间断点
          • 定义
            • 
          • 分类不必了解
      • Notes
        • 基本初等函数
          • 幂函数
          • 指数函数
          • 对数函数
          • 三角函数
          • 反三角函数
        • 初等函数
          • 构成
            • 基本初等函数
            • 常数
          • 操作
            • 四则运算
            • 复合运算
          • 性质
            • 初等函数在其定义域内连续
  • 性质
    • 闭区间上连续函数的性质
      • 最值定理
        • 
      • 有界定理
        • 
      • 零点定理
        • 
        • ξ在开区间 (a,b)内
      • 介值定理
        • 
        • 介值
          • 位于m和M之间的值
        • ξ在闭区间 [a,b]内
      • Notes
        • 
        • 
        • 
  • 题型
    • 间断点及分类
      • 初等函数
        • 找无定义的点
          • 因初等函数有定义的地方就连续
        • 算无定义点处的左右极限（算极限难点）
        • 分类
          • 无定义点左右极限都有为第一类间断点
            • 左右极限相等为可去间断点
            • 左右极限不等为跳跃间断点
          • 无定义点左右极限至少一个不存在为第二类间断点