线性空间

线性空间一般指向量空间。向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。

线性空间

• 集合·映射
  • 单射
    • 不同元素的像一定不同（每一个x都有唯一的y与之对应）
  • 满射
    • 每一个y都必有至少一个x与之对应
  • 双射
    • 又是单射又是满射（1对1）
• 线性空间的定义与相关性质
  • 定义
    • 理解：首先确定数域P和非空集合V，再定义“加法”和“数乘”
    • 加法满足四条规则，数量乘法满足两条规则
  • 性质
    • 零元素是唯一的，负元素是唯一的
• 维数·基与坐标
  • 引入线性相关性和线性无关性
  • 线性空间的定义：如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V是n维的。
• 基变换与坐标变换
  • 过渡矩阵的定义，弄清楚是谁到谁的过渡矩阵
• 线性子空间
  • 定义：数域P上线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间，且W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间。
  • 区分
    • 零子空间，线性空间本身（平凡子空间）
    • 除平凡子空间的是非平凡子空间
  • 齐次线性方程组的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫作齐次线性方程组的解空间，维数为n-r。
  • 由向量组a1,a2.....an,生成的子空间记为L（a1,a2.....an）
  • 定理
    • 两个向量组生成的相同的子空间的充分必要条件是两个向量组等价
    • L（a1,a2...an）的秩等于向量组a1,a2...an的秩
    • 生成子空间的向量组可以扩充成整个空间的基。
• 子空间的交与和
  • 交
    • • 交是V的子空间
        • 怎么证明？
  • 和
    • • 和是V的子空间
        • 怎么证明？
  • P176的例二很重要
  • 维数公式：维数的和=交的维数＋和的维数
• 子空间的直和
  • 和中的a的分解式式唯一的，则这个和就称为直和。
  • 直和的充分必要条件
    • 分解式唯一
    • 维（W）=维（V1）+维（V2）
  • 如果U是一个子空间，那么一定存在一个子空间W，是得V是U和W的直和
• 线性空间的同构
  • 保持线性相关性，保持线性无关性
  • 数域P上的任意两个n维线性空间都同构
  • 数域P上两个有限维度线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数
• 主题
• 证明唯一XX是唯一的，假设有两个，再证明相同。