实变函数第2章

以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。

勒贝格测度

• 可测集的性质
  • 可测的等价条件
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  • 可测的性质
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  • 测度的单调性
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  • 可测关于交并的性质
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  • 引理
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  • 卡拉泰奥多里条件
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  • 渐张，缩可测集列
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  • 可测集与G-δ型集
    • 设E是可测集，则存在G-δ集A与F-σ集B，满足A⊃E⊃B且mE=mA=mB
• 常用到的几个结论
  • 1.可列个零测集的并仍是零测集
  • 2.G1和G2是开集，且G1是G2的真子集，那么，不一定有mG1≤mG2
  • 3.
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  • 4.
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  • 5.设E1,E2均为有界可测集，则 m(E1∪E2)=mE1+mE2-m(E1∩E2)
  • 6.设E是R中的可测集，A是任意集，则 m*(E∪A)+m*(E∩A)=mE+m*A
  • 7.
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• 关于测度的几点评注
  • 无界集的测度
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  • 多维空间点集的测度
  • 不可测集的例
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• 有界点集的外，内测度，可测集
  • 开集的测度
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  • 闭集的测度 
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  • 开集测度的性质
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  • 定理
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  • 外测度，内测度
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  • 外，内测度的性质
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  • 勒贝格可测
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  • 零测度的性质
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