高数的知识点梳理（数一）

再不看看这份思维导图就晚了!考研数学是一门很重要的学科，也是特别难的学科，有很多学生因为上大学时数学基础不好，就在考研时选择不会考数学的专业，现在有了这份思维导图就不用再担心啦!跟着这份思维导图轻松解决极限、积分、微分、空间解析几何、无穷级数等问题，喜欢的小伙伴可以点个赞哦!

高数的知识点梳理

• 不定积分
  • 常见积分公式的记忆
  • 第一类换元法
    • 整体构造还原，积分运算前后变量一致
  • 第二类换元法
    • 整体替换被积函数或被积函数中的特定值。例如题中含有根号的运算通常替换
    • 例如看到题中含根号a²-x²时替换为x=asint 根号 x²+a²替换为x=atant 根号x²-a²时替换为x=sect
  • 分部积分法
    • 幂函数与对数函数相乘
    • 适用于幂函数与指数函数相乘
    • 幂函数与三角函数相乘
    • 幂函数与反三角函数相乘
    • 特例，当指数函数与cosbx 或者sinbx 相乘时令原函数为I 当被积函数为secx（n次方时）n为偶数可用换元法 奇数可用分部积分法
  • 特殊积分法
    • 当分子为假分式时需要转换为真分式
    • 分母为多项式的2项或者多项乘积时应拆开计算
  • 常见题型及变化
    • sin cos一般考虑①平房或者sinx求导等于sin2x构造 ②cos²x sin²x考虑cox2x以及平方和③多项式可以拆分
  • 子主题
• 极限与函数
• 导数与微分
• 微分中值定理
• 定积分及其应用
  • 定积分的定义:将一区域面积划为无数多小区域进行计算面积求和
  • 一般性质
    • 上下积分限相同积分 为0
    • ∫a到b的积分等于-∫b到a
    • a到b的积分可用中间变量c替换为a到c+c到b的积分
    • 常数积分等于上下积分限相减
    • 相同积分限下 若f(x)＞g(x) 则积分同时大于
    • 若f(x) 及其绝对值可积则积分的绝对值小于绝对值的积分
    • 积分中值定理的掌握及其概念∫(x)a到b等于(b-a)f(g)
    • 子主题
  • 基本定理
    • 常考点
      • 定积分只与积分上下限有关与积分产量无关
        • 常考点为积分的替换 例如x-t=u 同时积分上下限也需要替换。替换后为一个关于u的新的积分
      • 含有积分的极限通常用洛必达法则
    • 牛顿莱布尼兹公式的掌握
  • 积分方法
    • 换元法，常常将x-t替换为u同时积分上下限也要改变 或者用第一类换元法构造与背积函数相同的产量来进行整体替换
    • 分部积分法
  • 定积分的特殊性质
    • f(x)-a到a的积分可替换为0到a(f(x)+f(-x))的积分
    • 先积分后绝对值小于先绝对值后积分
    • 对称积分区间奇函数积分为0 偶函数为2倍
    • 三角函数在0到π/2上的积分∫f(sinx)=∫f(cosx)因为图像面积相等
    • 点火公式计 ∫sinⁿx0到π/2=∫cosⁿx0到π/2 若n为偶数则积分结果为(n-1)/n*(n--2-1)/(n-2)*.......*π/2 若n为奇数则积分结果为(n-1)/n*(n--2-1)/(n-2)*.......*1
    • ∫f(sinx)dx=2∫f(sinx) 注意积分 区间为0到π/2 若为cosx则需加绝对值
    • 周期函数定积分在周期上具有平移性质
  • 广义积分
    • 定义:积分区间可以有限也可以无限 在积分区间上具有间断点
    • 区间无限的广义积分的积分敛散性
      • 定义法叛别敛散性
        • 若上积分限为+∞下限为a则在广义积分区间内任取一段b limb→∞(f(b)-f(a))∃则广义积分收敛 注意此时fa fb为fx原函数 运用牛顿莱布尼茨公式
        • 积分下限为无穷大时叛别方法相同
      • 判别法判断积分敛散性 上积分限间断为limx→+∞时(x-a)ⁿ*f(x)极限∃且n＞1则该广义积分收敛＜1则发散 下积分限判别方法与上积分限相同 上下积分限同时间断则分别判断，上下都收敛时广义积分收敛
      • 分为上积分限间断和下积分限间断
    • 区间有限的广义积分
      • 定义法判别敛散性
        • 若积分上限为间断在区间a到b内任取一点之p后积分应为a到b-p运用牛顿莱布尼兹公式之后求极限 若存在则收敛 积分下限为间断时与上限判别法相同
      • 判别法判断敛散性
        • 需注意是积分上限间断(a-x)ⁿ还是下限间断(x-a)ⁿ 若n＜1则收敛 反之发散
      • 分为下积分限间断与上积分限间断
    • 注意，若积分上下限同时存在间断，则分开考虑，当上下限都收敛时才为收敛
  • 定积分的证明
    • 微分中值定理 积分中值定理的应用 以及构造辅助函数
  • 定积分的应用
    • 求面积
    • 求表面积
      • 表面积的求发应用弧微分ds
    • 求体积
      • 绕x轴旋转的体积，绕y轴旋转体积以及绕某一固定轴旋转体积
    • 思想，在区间上取一微元
  • 常考题型
    • 概念与基本性质 主要考察n项求和的积分限
    • 变积分限的函数问题
      • 注意用换元法的时候上下积分限的变换
      • 变积分限积分求导时注意上下积分限替换时求导是否需要为常数
    • 定积分的计算
      • 变积分限求解积分时优先考虑分部积分法
    • 定积分的几何应用
      • 计算时观察积分区域是选择x还是y进行适当调整 作用微元法
      • 求解面积问题或者体积问题的最大值最小值时先把面积或者体积表示出来在转换为只含一个参数的方程后求导数确定最值
• 多元函数微分学
  • 多元函数的定义
    • 极限定义
    • 偏导定义
    • 可微定义
    • 连续定义
    • 注意3者之间的关系 可微能推出连续 可微能退出可偏导 其他的都推不出 注意常见反例的应用
  • 多元显函数求偏导
    • x的二阶偏导
    • y的二阶偏导
    • 先x后y的偏导以及先y后x得偏导
  • 隐函数求偏导
  • 复合函数求偏导
    • 注意区分主函数与内层函数之间是几元的关系
    • 参数方程的复合函数求偏导注意区产量
  • 极值
    • 无条件极值
    • 条件极值
      • 方法一 拉格朗日乘数法
      • 参数方程法
  • 曲线的切线与法平面
    • 对曲线求偏导找出对应点的向量与已知平面的叉乘即为切线的方向向量即平面的法向量
  • 曲面的切平面与法线
    • 对曲面求对应点偏导即为改点切平面方法向量即法线方向向量
  • 空间方向导数
    • 二维 等于对x对应点得偏导乘x方向的方向余弦加对于y对应点的偏导乘y方向的方向余弦
    • 三维 等于对x对应点得偏导乘x方向的方向余弦加对于y对应点的偏导乘y方向的方向余弦再加z方向对应点的偏导乘z方向的方向余弦
    • 注意方向余弦的求解方法
  • 梯度
    • ＝对应点的偏导数
  • 常考题型
    • 偏导定义
    • 显函数求偏导
    • 复合函数求偏导
      • 注意几元的关系
    • 多元隐函数求偏导
    • 特别注意参数方程隐函数求偏导
    • 根据已知偏导反推函数方程式
    • 切线与法平面 法线与切平面求发
      • 注意有些未知切点需要设出来求解
    • 条件极值与非条件极值
    • 方向导数与梯度
    • 微分的求解
• 常微分方程
  • 一阶微分方程
    • 可分离产量的微分方程
    • 齐次微分方程
    • 一阶齐次线性微分方程
    • 一阶非齐次线性微分方程
    • 公式记忆
  • 二阶微分方程
    • 可降阶的微分方程
      • 缺x型 缺y.型 将其进行降价转化为一阶
    • 二阶齐次线性微分方程
      • 通过特征方程和特征值求解
    • 二阶非齐次线性微分方程
      • 通过求通解加特解的形式进行求解 注意特解的假设形式
    • 公式记忆
  • 伯努利方程
  • 欧拉方程
  • 全微分求解
    • 运用柯西黎曼条件 曲线积分求解
  • 常考题型
    • 微分方程定义
    • 可分离变量的微分方程 注意XY x y 平方通常写成u代替 y/x=u dy/dx=u+x du/dx 注意有时候x也可以做因变量
    • 可降阶的微分方程
      • 缺y型 y'=p
      • 缺x型 y'=p y''等于p*d p/dy
    • 一阶齐次线性微分方程 一阶非齐次线性微分方程
    • 微分方程与变积分限函数的联立求解 先代换再求导
    • 二阶常数齐次微分方程
    • 二阶常数非齐次微分方程
      • 注意特解的形式和特解中特征值是否与特征方程中特征值相同
    • 欧拉方程
    • 注意公式的记忆
    • 微分方程应用
• 二重积分
  • 二重积分的定义:f(x,y)在某一区域的面积
  • 性质
    • 满足加减运算
    • 常数可以提取
    • 若被积函数为常数 则等于被积区域D的面积
    • 积分中值定理依然适用∬(x,y)=∬f(c,d)
    • 对称性的考虑 关于y轴对称时考虑x关于x轴对称时考虑y 对称奇函数积分为0
    • 轮换对称性关于y=x轴对称时x y可以对调
  • 积分方法
    • 直角坐标法
      • 积分区间可以x或者y交换 应注意交换后积分上下限的变换
    • 极坐标法
      • 适用于含有x² 或者x²+y ²等的计算
      • 令x=rcos色塔 y=sin
        • 积分后为∫d色塔∫rdr
    • 计算积分时应注意积分区间的选取 注意是否需要分区域计算
  • 常考题型
    • 奇偶性 轮换对称性
    • 改变积分次序
    • 二重积分定义
    • 二重积分积分中值定理
    • 多个区域内的二重积分计算
    • 极坐标与直角坐标的转换
    • 注意常见6个圆的积分限的确定 自己x=1 y=1 x+y=1转化为极坐标的形式的积分限
• 三重积分
  • 定义及基本概念:计算某一空间的体积质量问题
  • 性质
    • 加减运算
    • 常数提取等于体积
    • 关于xy平面对称的性质
    • 被积函数为常数 则三重积分等价为在此区域的体积
  • 计算方法
    • 直角坐标法
      • 铅直投影法
        • 确定xy平面区域的范围以及z的上下曲线方程 区域积分在前 曲线积分限在后 从后往前先一重在二重
      • 切片法
        • 先投影在通过任意两点的平面方程进行积分
    • 极坐标法
      • 特征 含x²+y²+z²
      • 变换的x y z用极坐标表示
  • 求质心
  • 质心z =∭zdv/∭dv
• 无穷级数
  • 常数项级数
    • 定义 常数项级数收敛与发散的定义 若Sn的极限等于S则级数An收敛于S 若不存在，则级数an发散
    • 基本性质 两个级数收敛，则他们的级数和也收敛 一个级数收敛于s 则k乘以这个级数收敛于ks 级数增加 或减少改变有限项不改变级数的敛散性 级数添加括号提高收敛性 若一个级数收敛，则他的每一项的极限都等于0反之不对
  • 两个重要级数
    • p级数 p>1收敛 <=发散等于1时为调和级数
    • 几何级数 q的绝对值小与1时收敛 大于等于1时发散
  • 正向级数及其敛散性判断
    • 定义 任意项大与0的级数为正向级数
    • 敛散性判断
      • 定义法 若该级数无上界则发散 有则收敛
      • 比较法 低精度收敛则高精度收敛 高精度发散则低精度发散
      • 比值法 用n+1项与n项相比求极限 若<1则收敛若>1则发散
      • 根值法 对级数开n次方求极限 若<1则收敛 >1则发散
      • 积分审敛法
  • 交错级数
    • 定义 an>0带有-1的n次方
    • 敛散性判断 若an单调递减且极限为0则收敛 否则发散
  • 绝对收敛与条件收敛
    • 若an绝对值收敛 则an绝对收敛 若an收敛 an绝对值发散则an条件收敛 若an绝对收敛 则an收敛
  • 幂级数
    • 幂级数的定义
    • 幂级数的收敛半径与收敛域
    • 幂级数的分析性质 逐项可导性与逐项可积性
    • 函数展开成幂级数
      • 麦克劳林级数的定义
      • 常见7个麦克劳林级数的记忆
    • 和函数的求发
      • 麦克劳林级数的反用 通过逐项可导性与逐项可积性 注意4个常用麦克劳林级数
  • 傅立叶级数
  • 常见题型
    • 级数定义
    • 敛散性判断
      • 注意区分级数类型
    • 求收敛半径收敛域
      • 注意幂函数的替换以及为n次方还是a n次方
    • 幂级数展开
    • 求和函数
      • 先求收敛域 在通过逐项可积 可导性求解
    • 函数极限的定义证明敛散性
    • 级数收敛的可加性
    • 重要不等式a*b的应用
    • 条件收敛与绝对收敛的定义与概念
    • 注意常见特例
• 向量代数与空间几何
  • 向量的定义和基本运算
  • 向量叉乘的概念和运算，两向量叉乘等价于3个向量一定在空间内垂直。
  • 混合积的概念与理解以及在求解过3点形成的平面问题时候的应用 行列式为0
  • 平面的一般方程 点法式 截距式 一般式
  • 直线得一般方程 点向式 交面式 参数式 交面式方程中由于两平面法向量的乘积为叉乘既为直线的方向向量
  • 空间曲面
    • 柱面
  • 旋转曲面轨迹方程的求解
    • 坐标平面内的曲线绕坐标轴旋转形成的曲面轨迹方程 绕哪个轴旋转那个参数不变，改动剩下的参数 x轴f(x,+-√x平方加y平方) 绕y轴旋转一样
    • 空间直线绕坐标轴旋转的轨迹方程
    • 空间曲线绕直线旋转轨迹方程
  • 空间曲线的表达方式
    • 一般式
    • 参数式
  • 空间曲线的切线与法平面
    • 切线先计算切向量 （方向向量）在找点即可表示切线方程
    • 法平面的法向量为切线的方向向量 再找点根据点法式即可计算出平面方程
  • 空间曲线的切平面与法线
    • 分别对x y z求导代入每点数值即可求出法向量 根据点法式 和点向式即可求出切平面与法线
  • 距离计算
    • 两平行平面之间距离
    • 点到平面的距离
    • 点到直线得距离
  • 常考题型总结
    • 向量运算求夹角，熟悉公式以及向量的平方等于向量模得平方
    • 根据三点求一个平方方程 1（点法式）其中3点组成的两个向量共面 那么该两向量的叉乘为此平面的法向量 2通过平面3点式方程
    • 根据交面式直线方程和平面求投影直线
      • 方法1 点法式 直线得方向向量与该平面的法向量的叉乘为该直线投影平面的法向量 再直线上任取一点即可求出该投影平面的方程 通过投影平面与已知平面相交即可求出直线方程 方法二，通过平面束求解
    • 曲线绕某一特定轴旋转问题 直线绕某一特定轴旋转问题
    • 通过已知条件求直线方程 平面方程
    • 求对称点问题 运用直线得参数方程
    • 切线法平面方程求解 发现切平面方程求解 求对应点偏导即可
• 曲线积分
  • 第一类曲线积分
    • 定义 求解弧长
    • 性质 奇偶性 轮换对称性
    • 求解方法 定积分法 利用参数方程求解 注意ds到dx或ds的转化 掌握弧微分的求法 转化为极坐标求解
  • 第二类曲线积分(对坐标)
    • 定义 求解做功问题
    • 性质 奇偶性 对称轴 轮换对称性
    • 求解方法 定积分法 格林公式 注意是单联通区域还是多联通区域
  • 特殊 与路径无关的问题 运用柯西黎曼条件
• 曲面积分
  • 第一类曲面积分
    • 对面积的曲面积分 在某一曲面上对面积的曲面积分
    • 性质 平面对称奇偶性 轮换对称性
    • 计算方法 替代法 二重积分法 注意 ds面积微圆的求解
  • 第二类曲面积分
    • 对坐标的曲面积分 单位时间内流入指定侧的流量
    • 注意投影正负号 若法向量与z轴正向夹角为锐角 则为上侧，取正 若为钝，则为下侧 取负。其他轴相同表示方法
    • 性质 特别注意第二类曲面积分与方向余弦之间的表示方法
    • 计算方法 二重积分法 前正后负 右正左负 上正下负 （正负与投影平面相关）
    • 计算方法 高斯公式 外侧正 内侧负 计算前提是P Q R在区域上连续可偏导
  • 常见题型
    • 第一类曲面积分计算 1先投影 2计算ds 3代入边界方程
    • 第二类曲面积分 上下侧的计算 第几卦限的计算 被某两个面截之后的曲面
    • 第二类曲面积分与方向余弦之间的转换
    • 方向导数 梯度 旋度 散度 的定义
    • 高斯公式的计算
    • 注意求解曲面积分时奇偶性对称性的应用自己第二类曲面积分中投影方向的正负