中值定理的相关知识及一些条件的联想

这是一篇关于中值定理的相关知识及一些条件的联想的思维导图。中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。

中值定理

• f
  • 连续闭区间
    • 最值定理
      • 闭区间连续
    • 介值定理
      • 看到求存在参数属于闭区间
    • 平均值定理
      • 看到函数值相加就除以个数
        • 连续（积分中值定理）
          • 取值为开区间
          • 取值为闭区间
        • 离散
• f'
  • 费马定理
    • 条件：1.可导；2.极值（区间内部最值）
    • 要求
      • 会证明该定理
      • 物理应用（位移、加速度）
  • 罗尔定理
    • 条件：端点值相等
    • 考点
      • 一次罗尔-构造辅助函数困难-找点不困难
      • 多次罗尔
        • 无辅助函数-找点困难
        • 三个点的值相等-证二阶导为0
  • 导数零点定理
  • f'=0
  • 拉格朗日中值定理
    • 看到
      • f与f'
      • f-f
  • 柯西中值定理
    • 考点
      • 证分母的g'≠0
      • g(x)=x->拉格朗日
      • 一个抽象函数+一个具体函数
• 高阶
  • 泰勒公式
    • 带拉格朗日余项
      • 常用于中值定理证明题
        • 展开之后积分-消去部分项+得到带系数的项
    • 带佩亚诺余项
      • 常用于求极限
        • 等价
    • f与高阶导的关系
    • 使用关键
      • x0
        • 选择知道导数值的点
      • x
        • 知道函数值的点
        • 区间端点
        • 区间中点
• 一些补充
  • 辅助函数
    • 乘积求导公式的逆用
    • 观察题干，复杂或者奇怪的部分可尝试能否变成需证明部分
    • 一般出现一边包含导数，另一边是0则需要辅助函数
  • 求区间内部最值
    • 证明区间内部的值存在大于（小于）端点值
      • 导数定义+保号性
  • 要证明的题目含两个参数
    • 划分区间
      • 拉氏、罗尔等
      • 出现不同函数的导数
        • 柯西
  • 函数闭区间二阶可导
    • 一阶导连续可导
      • 将一阶导看为最基本的函数，使用介值定理
  • 只要存在就可以用的定理
    • 导数零点定理
    • 导数介值定理
  • 出现三个点
    • 两次罗尔
    • 两次拉格朗日
  • 连续
    • 最值定理
    • 介值定理
    • 零点定理
  • 看到积分
    • 积分中值定理
    • 将辅助函数设为积分形式
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