导图社区 高等数学(1)
一篇关于考研高等数学思维导图，函数 极限 连续，介绍详细，描述全面，希望对感兴趣的小伙伴有所帮助！
线性代数思维导图思维导图，分享了行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、特征值和特征向量的知识，欢迎大家学习。
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函数 极限 连续
函数
知识点
函数相关概念
函数定义
复合函数
内部函数值域为外部函数定义域
反函数
初等函数与基本初等函数
涵盖
函数的性态
单调性
判定（定义＋导数正负）
数学归纳法，660.T121
奇偶性
常见的奇函数
判定：利用定义； 利用函数和导函数奇偶性的关系；利用函数和原函数奇偶性的关系
周期性
注意和积分的联系
有界性
判定
定义
相关结论
闭区间上连续👉函数在此区间内有界
开区间上连续，并且开区间函数极限存在👉函数有界
导函数数区间上有界👉函数区间上有界
考点
函数性态
极限
1. 极限的概念
数列极限
几何意义
极限值与前有限项无关
极限值与奇偶性项无关
子主题
函数极限
函数极限分正无穷大和负无穷大
有限值需要区分左右极限
分段函数在分界点的极限，包括带绝对值的函数
e∞型极限
arctan∞型极限
2. 极限的性质
局部有界性
保号性
极限值和无穷小的关系
3. 极限存在准则
夹逼准则
单调有界准则
数学归纳法
结论
tip：比较抽象的定义的证明可以使用反证法
4. 无穷小
无穷小的比较
无穷小的性质
不要忽略有限二字
5. 无穷大
常用的无穷大比较
无穷大和无界变量的关系
无穷大和无穷小的关系
极限的概念、性质、存在准则
极限的求极限
常用方法
1. 利用有理运算法则求极限
2. 利用基本极限求极限
3. 利用等价无穷小求极限
4. 利用洛必达法则求极限
5. 利用泰勒公式求极限
6. 利用夹逼准则求极限
7. 利用定积分的定义求极限
8. 利用单调有界准备准则求极限
9. 利用微分/积分中值定理计算极限
常见题型
化简
极限非零因子先求出； 遇到根式想到有理化； 进行变量代换； 还有加一减一方便等价无穷小的替换、拆项先计算简单的式子、分子分母同时除以“老大”
0/0型
洛必达准则； 等价无穷小的替换； 泰勒公式；
无穷比无穷
洛必达法则； 分子分母同时除以最高阶的无穷大；
无穷－无穷
通分化为0/0； 根式有理化； 提无穷因子用等价代换、变量代换、泰勒公式
0*无穷
化为基本型
1无穷次方
三部曲
无穷的0次方/ 0的0次方
幂指函数，对数化
不定式
化作函数极限，记得不能直接用洛必达法则
n项和的数列极限
夹逼定理
定积分的定义
变化部分的最大值和主体部分相比较，若为轻量级则用夹逼定理； 若为同量级就用定积分的定义
级数求和
注意级数的四则运算性质、逐项积分和逐项求导性质
n项连乘
夹逼原理
取对数化为n项和
递推关系
单调有界证明极限存在，两端取极限
单调性的证明方法：定义法、相减、正值相除
有界的证明是证明不等式
注意辅导讲义上p35页常用的四个个不等式
先得到初步结果，再证明极限存在
核心是证明一个递推不等式
确定极限式中的参数
无穷小的比阶
洛必达
代换
泰勒
类似于0/0型；当分子分母求导不方便的时候， 可以利用泰勒公式展开，划到一定的x的幂次
常用思想：用定义进行两两比较；定阶；变上限积分的两个结论
连续
基本概念
某点连续等价于左连续且右连续
间断点
概念
不是说非连续的点就是间断点了，还要求x0某邻域附近有定义
分类
第一类间断点
第二类间断点
连续函数的性质
闭区间上连续函数的性质
最值性
介值定理
零点定理
讨论连续性以及间断点类型
介值定理、最点定理以及零点定理的证明题
一元函数微分学
导数与微分
导数概念
微分概念
导数和微分的几何意义
可导、连续、可微的关系
求导公式
求导法则
有理运算法则
复合函数求导法
隐函数求导法
反函数的导数
参数方程求导法
对数求导法
高阶导数求导
导数与微分的概念
利用导数定义求极限
重点在于构造定义式：提因子、加减裂项
利用导数定义求导数
一般地，在分段函数交界点的函数都要用定义求
利用导数定义判断可导性
三个结论
会举反例
导数的几何意义
常和隐函数求导和参数方程求导相结合
若两条曲线相切，则在切点处的导数值和函数值相同
导数与微分的计算
结论：内外皆可导，整体也可导；有一个不可导， 整体不确定，需要求复合函数的表达式
方法和公式
反函数求导法
对于幂指函数，连乘、连除，开方、乘方等形式的函数一般采用对数求导法
高阶导数
具体点的高阶导数（经常为x=0）
泰勒公式展开，找幂次相同的项，做等式
利用莱布尼茨公式构造线性递推
导数的应用
微分中值定理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西定理
泰勒定理
极值与最值
极值的第一充分条件
该点是否连续，左右导数是否变号
2003选择题1
极值的第二充分条件
极值的第三充分条件
极值出现的地方
驻点；导数不存在的点
导数判断不了就用定义判断
曲线的拐点
必要条件
若此点二阶可导，则二阶导数为零
第一充分条件
若此点二阶导数左右异号，则此点为函数拐点
第二充分条件
若此点三阶导数不为零，则此点为函数拐点；但是如果三阶导数为0，则方法失效，改用定义判定
第三充分条件
函数的单调性、极值和最值
和前面的极限联合起来考查，综合前面的例子可以看到对于基础理论要掌握牢固
曲线的凹向、拐点、渐近线及曲率
依然还是考察几个极限的求法
方程的根的存在性以及个数
唯一性可以使用单调性；
存在性可以使用零点定理和罗尔定理
根的个数可以使用单调性和罗尔定理推论
其他思想和常用操作：参数的分类讨论；参数分离求解
证明函数不等式
构造函数法
最小最大值
哪一点给的信息多，就用哪一点，一样多就选导数多的哪一点
凹凸性
二次导数的正负性；曲线和切线的位置关系
微分中值定理的证明题（具体可以看笔记总结）
第一类：单中值罗尔定理相关的证明题
第二类：双中值
可以相等
不相等
第三类：单中值但是n阶导数
一元函数积分学
不定积分
两个基本概念
原函数
原函数的存在性
函数连续（可推出函数有原函数）
函数有第一类间断点，则可推出函数在区间I上没有原函数
不定积分的性质
线性性质
可拆性质（常用）
基本积分公式
17个
三种主要的积分方法
第一类换元法（凑微分法）
第二类换元法（变量代换）
上下限
积分函数
积分变量（特别容易忽略）
注意回代
分部积分法
三种常见可积函数积分
有理函数积分
三角有理式积分（万能代换）
简单无理函数积分
不定积分的计算
定积分
定积分的概念
划分；求和
定积分的几何意义
有正有负上－下
可积性
在闭区间内有界
三个充分条件
3.函数在闭区间内只有有限个间断点，则函数在区间内可积
定积分的计算
牛顿莱布尼茨公式
换元积分法
利用奇偶性和被积函数的周期性
利用公式
定积分的性质
不等式性质
不等式性质（联想几何意义）
积分中值定理
狭义积分中值定理
广义积分中值定理
定积分的概念、性质、几何意义
变上限积分及其应用
基本方法
洛必达法则
等价无穷小代换
考查点
连续性
可导性
积分不等式
方法
定积分不等式的性质
变量代换
变上限积分
条件：题目中隐式或者显式地给出了f（x）的单调性
柯西积分不等式
核心（将f（x）和它的导函数联系起来）
积分公式，变上限积分
有技巧使得分部后的第一项为零
反常积分
无界函数的反常积分
无界区间的反常积分
本质上还是求极限问题，审敛方法和无穷积分是一样的（比较判别法以及比较判别法的极限形式）
常用的结论（类似p级数的）
反常积分敛散性
比较判别法
比较判别法的极限形式
反常积分计算
定积分的应用
几何应用
平面图形的面积
空间体的体积
曲线弧长
显式
参数式
极坐标式
旋转体侧面积
物理应用
变力做功
液体的压力
引力
常微分方程
可降价的线性微分方程
一阶微分方程
可分离变量的微分方程
齐次方程
线性微分方程
记公式
伯努利方程
全微分方程
可降价的高阶方程
无y，无一阶导
缺y型
缺x型
高阶线性微分方程
线性微分方程解的结构
常系数齐线性微分方程
常系数非齐线性微分方程
差分方程
题型
微分方程求解
综合题
应用题
多元函数积分学
重极限、连续、偏导数、全微分
重极限的定义
性质
偏导数
高阶偏导数
全微分
可微性判定
充分条件
定义判断
两部曲
计算
连续、可导、可微之间的关系
讨论连续性、可导性、可微性
偏导数和全微分的计算
极值和最值
极值
条件极值的判定
拉格朗日乘数法，分别对变元求偏导
二重积分
二重积分的计算
利用直角坐标计算
交换积分次序常考
利用极坐标计算
利用对称性和奇偶性计算
利用变量对称性计算（也叫轮换对称性）
无穷级数
NO.1 常数项级数敛散性问题
知识点1 级数的敛散判别法
考点1.1 判断给定表达式的级数的敛散性
常用规律：
不熟悉的式子要进行放缩，再进行比较审敛；
幂级数的增长速度要大于对数函数；
常用到等价无穷小的替换以及泰勒公式；
交错级数如有两项，往往可以相减销项
知识点2 级数收敛性的相关性质
收敛函数的基本性质（5条）
绝对收敛与条件收敛的常用结论（2条基本结结论与3条补充运算结论）
考点2.2 抽象函数的敛散性判断
NO.2 幂级数
知识点1 幂级数的收敛半径
考点1.1 求收敛半径和收敛域
直接型：利用两个定理求收敛半径，注意求倒数之后才是收敛半径；
偶数项和奇数项记得开根号
抽象型：利用阿贝尔定理，注意端点处的敛散性需要另行判断；幂级数在某点条件收敛则此点是收敛域的端点
知识点2 幂级数的四则运算，逐项求导和逐求积分
考点2.1 将函数展开成幂级数
泰勒级数的展开唯一性，常用于求函数的某点处的高阶导数
核心在于如何将函数进行变形得到常用的泰勒展开式
2006年题17
1994年，真题基础篇P195 33题
考研2.2 幂级数求和以及常数项求和
级数展开的逆用
一般常用间接展开，解题代换要注意收敛半径前后变化以及是否有缺项情况， 以及验证端点处函数值是否满足得到的表达式
NO.3 傅里叶级数
知识点1 狄利克雷收敛定理
考点1.1 运用收敛定理计算傅里叶级数的和函数
解题规律：判断函数周期；是做奇延拓还是偶延拓；
知识点2 傅里叶级数的计算
考点2.1 将函数展开为傅里叶级数
解题步骤
1.给出傅里叶系数，写出傅里叶级系数；
2.根据收敛定理判断傅里叶级数在哪些点收敛收敛于哪些值
知识点回顾
常和三角函数的定积分的运算结合起来考察
注意a0的系数是1/2，记得标上x的取值范围
第八章
向量代数
数量积
几何表示
代数表示
运算规律
交换律
分配率
几何运用
求模
求夹角
向量积
混合积
向量运算
向量运算的运用和向量的位置关系
空间平面和直线
平面方程（关注法向量）
一般式、点法式、截距式
直线方程（关注方向向量）
一般式（两平面交线）、对称式、参数式
平面和直线的位置关系
点到平面的距离
点到直线的距离
建立直线方程
建立平面方程
与平面和直线关系有关的问题
曲面和空间曲线
常见曲面
旋转面
柱面
二次曲面
建立柱面方程
建立旋转面方程
求空间曲线的投影曲线方程
多元微分在几何上的应用
曲面的切平面和法线
曲线的切线和法平面
建立曲面的切平面和法线方程
建立空间曲线的切线和法平面方程
方向导数与梯度
方向导数的定义
梯度的定义
方向导数的计算
多元函数积分学及其应用
三重积分
投影穿线法--先一后二法
定限截面法--先二后一法
对坐标的线积分
第一型线面积分
第一型线积分（弧长）
化为定积分
平面情型
第一型曲面积分
化为二重积分
一投二代三计算
第二型曲面积分
第二型曲线积分
