微分几何第二章手写笔记

一篇关于微分几何第二章手写笔记思维导图，介绍详细，描述全面，希望对感兴趣的小伙伴有所帮助！

曲面论

• 曲面的参数方程
  • 曲面的坐标式参数方程
    • 映射r表示为{x=x(u,v) y=y(u,v) z=z(u,v)，(u,v)∈D
  • 曲面的向量式参数方程
    • 映射r表示为r=x(u,v)i+ y(u,v)j+ z(u,v)k (u,v)∈D
• 坐标曲线
  • u线
    • 若v固定，取u=u₀，则r=(u,v₀)
  • v线
    • 若u固定，取v=v₀，则r=(u₀，v)
  • 曲纹坐标网
    • u线和v线在曲面上构成的坐标网
  • 坐标曲线的切线
    • r对u求偏导 r对v求偏导 r对u求偏导×r对v求偏导 三者构成右手系，但是不一定两两垂直
• 正则曲面
  • 正则点
    • 若在P₀点处，r对u求偏导与r对v求偏导线性无关
      • 即×积不是0
  • 正则曲面
    • 曲面上的点都是正则点，则曲面为正则曲线
    • 约定今后讨论的都是正则曲面
• 曲面的参数变化换
  • 使用J变换
    • 前提
      • 行列式不等于0
    • 性质
      • 正则性保持不变
      • 正则性，切平面，法线与容许参数选取无关
    • 公式
• 曲面的切平面和法线
  • 切平面
  • 法线
• 可展曲面
  • k=0的直纹面
• 平均曲率
  • 公式
  • 性质
    • 子主题
• 高斯曲率
• 脐点
  • 定义：曲面上，第一，第二基本量成比例的点
  • 分类
    • 平点：L,M,N全为0
    • 圆点：L,M,N不全为0
  • 性质
    • 1.曲面沿各方向的弯曲程度相同
    • 2.沿任何方向的法曲率相同
    • 3.任何方向都是主方向
• 主曲率
• 法曲率
• 曲率
  • 法曲率
  • 渐近方向
  • 主曲率
    • 定义
    • 计算公式
    • 主方向的判定定理
    • 主方向的计算公式
• 曲面的第二基本形式
  • 推导
• 曲面的第一基本形式
  • 弧长
  • 夹角
  • 面积
  • 内蕴量
• 基础概念