多元函数积分学

高数太难学不会？高数多元函数微分考点不清楚？多元函数微分法及应用思维导图学习笔记，完整梳理多元函数极限问题、连续性问题、偏导数和全微分相关知识，让你精准把握考点，复习更高效。

多元函数积分学

• 二重积分的概念和性质
  • 引例
    • 求曲顶柱体的体积
    • 求质量非均匀分布的平面包办的质量
    • 方法：1.分割 2.近似替代 3.求和 4.取极限
  • 定义
    • 设二元函数z=f（x，y）定义在有界闭区域D上，将区域D任意分成n个子域，并以表示第个子域的面积。在上任取一点作和。如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在，且该极限值与区域D的分法及的取法无关，则称此极限为函数在区域上的二重积分
    • 同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
  • 性质
    • 性质1（积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）
    • 性质2（积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外
    • 性质3、 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y)，则
    • 性质4、 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积
    • 如果在有界闭区域D上f(x,y)=k（k为常数)，σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得
  • 几何意义
    • 在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
    • 例如二重积分,其中，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积
• 二重积分的计算
  • X-型和Y型区域
    • 第一种方法：如果从二重积分的式子上来看，哪个变量（如x）的上下限都是常数而另一个变量（如y）上下限全是某个（如关于x的）函数，就是哪个（x）型区域，如果从区域的图像上看，看x和y轴方向上哪一个变量的取值范围是被常数确定就是哪个类型的。
    • 第二种方法：打算先对x积分则用平行于x轴的直线分割区域，以上下两切点为分界点，左边的曲线为x=φ1(y),右边的曲线为x=φ2(y),不过如果非要区分的话，曲边形有平行于x轴的直线则为Y型区域；X型则反过来。
  • 对称性
    • 对于Dxy是关于y轴对称的区域，满足∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, y)dxdy。 如果Dxy是关于y=x对称的区域，那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(y, x)dxdy（所以如果积分函数满足f(y,x)= -f(x,y)，就能得出∫∫f(x,y)dxdy=0）。 如果Dxy是关于y=-x对称，那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-y, -x)dxdy。
  • 极坐标
    • 1.变量代换x=rcost,y=rsint
    • 2.求出极坐标系下积分局域的表达形式（讲x,y代入）
    • 3.将被积函数做变量替换,同时dxdy=-rsintcostdtdr(Jacobi行列式消去了一个r,所以是r的一次方)
    • 4.在新的积分区域内求二重积分
• 三重积分的计算
  • 直角坐标系法
    • ⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。 ①区域条件：对积分区域Ω无限制； ②函数条件：对f（x,y,z）无限制
    • ⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。 ①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成 ②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。
  • 柱面坐标法
    • 适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设
    • ①区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；
    • ②函数条件：f（x,y,z）为含有与（或另两种形式）相关的项。
  • 球面坐标系法
    • 适用于被积区域Ω包含球的一部分
      • ①区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以；
      • ②函数条件：f（x,y,z）含有与相关的项
• 三重积分的概念和性质
  • 引例
    • 求质量非均匀分布的物体的质量
    • 方法：1.分割 2.近似替代 3.求和 4.取极限
  • 定义
    • 设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
  • 几何意义
    • 三重积分的几何意义是不均匀的空间物体的质量。三重积分就是立体的质量。当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。
    • 设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz