无穷级数

这是一篇关于无穷级数的思维导图。无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和，发散的无穷级数没有和。

无穷级数

• 常数项级数的概念及性质
  • 级数的概念
    • 级数收敛与发散的定义
    • 判断级数收敛性的方法
      • 先求Sn，再求Sn的极限，然后由定义判断级数的收敛性
  • 基本性质
    • 级数的每一项同乘一个不为零的常数，敛散性不变
    • 收敛级数可以逐项相加与逐项相减
    • • 在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性
      • 但收敛时，其和一般改变
    • 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和
      • 注意事项
        • 加括号后收敛的级数去括号后不一定收敛
  • 收敛的必要条件
    • 级数收敛的必要条件：
      • 注意事项
        • 逆命题不成立
          • 必要条件不充分
        • 如果级数的一般项不趋于零，则级数发散
• 常数项级数的审敛法
  • 正向级数及其审敛法
    • 正向级数收敛的充要条件
      • • 注意：正向级数发散必发散到正无穷
    • 比较审敛法
      • • 
      • p级数敛散性
        • • 
    • 比较审敛法极限形式
      • 子主题
    • 比值审敛法（达朗贝尔判别法）
      • 注意：
        • ρ=1时比值审敛法失效
        • 优点：不必找参考级数
        • 该定理条件是充分的，而非必要
    • 根值审敛法（柯西判别法）
      • 注意：
        • 根植判别法的适用范围比比值判别法广泛
  • 交错级数及其审敛法
    • 定义：
      • 正、负项相间的级数称为交错级数
    • 莱布尼茨定理
      • 如果交错级数满足条件：
        • 
      • 注意：此定理为充分条件，不是必要条件
  • 绝对收敛与条件收敛
    • 定义：
    • 定理
    • 绝对收敛级数的性质（条件收敛级数不具备）
      • 定理：绝对收敛的级数具有可交换性
• 函数展开成幂级数
  • 泰勒级数
    • 泰勒公式
    • 定理
    • 展开式的唯一性
  • 函数展开成幂级数
    • 直接展开法
    • 间接展开法
      • 利用已知的展开式及幂级数的代数与分析运算，变量代换等，将函数展开成幂级数。
        • 常用的麦克劳林
• 幂级数
  • 函数项级数的有关概念
    • 收敛点与收敛域
    • 和函数
      • 在收敛域上，函数项级数的和是X的函数S（x)，则称S（x)为函数项级数的和函数
      • 注意：
        • 函数项级数在某点X的收敛问题，实质上是数项级数的收敛问题
  • 幂级数及其收敛性
    • 定义：
    • 收敛性
      • 定理1（Abel定理）
        • 推论：
        • 定义：正数R称为幂级数的收敛半径。幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间
      • 定理2
  • 幂级数的运算
    • 代数运算
      • 加减法
      • 乘法
    • 重要结论
      • • 极限符号可以和求和符号互换位置
      • • 可导
      • • 可积