高数级数

高等数学章节思维导图级数部分。无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和，发散的无穷级数没有和。

高数级数

• 常数项级数
  • 定义
    • Sn为级数an的部分和，lim Sn存在，则称级数∑an收敛。不存在，则发散。 limSn=∑an
  • 性质
    • 1.收±收=收，收±发＝发，发±发＝？
    • 2.∑Un=S，则∑kUn=kS，若k≠0，两者敛散性相同
    • 3.级数增加、减少、改变有限项 不改变级数敛散性，但可能改变级数的和
    • 4.添加括号提高 级数收敛性，加绝对值提高 发散性，一般项趋于零的速度越快 收敛可能性越大
    • ☆5.级数收敛的必要条件：若级数收敛，则liman=0（n→∞，一般项→0）。liman≠0，级数发散。liman=0，级数敛散性不确定。
  • 重要级数
    • P级数
      • 定义
        • ∑1/nᴾ 的级数称为P级数（P=1时，∑1/n为调和级数，发散）
      • 敛散性判断
        • ①P≤1，P级数发散 ②P＞1P级数收敛
    • 几何级数
      • 定义
        • ∑aqⁿ称为几何级数
      • 敛散性判断
        • ①|q|≥1，发散 ②|q|＜1，收敛，S=首项/1-公比
    • 对数P级数
  • 正项级数
    • 定义
      • 对所有的n，有an≥0，称∑an为正项级数。 部分和Sn单调增加①无上界，则正项级数∑an发散。②有上界，（M＞0，Sn≤M，即单增➕有界，则Sn必收敛）则正项级数∑an收敛。
    • 审敛法
  • 交错级数
    • 定义
    • 莱布尼兹审敛法
      • ∑（-1）ⁿUn为交错级数，①Un单调减少②limUn=0，则级数收敛
  • 绝对收敛和条件收敛
  • 解题步骤
    • liman=0
      • ok
        • 正项级数
          • 审敛法 ①②③④（①②重要）
        • 交错级数，一般项
          • ∑|Un|
            • Ok
              • 绝对收敛
            • No
              • 莱布尼兹审敛法
                • Ok
                  • 条件收敛
                • No
                  • 发散
        • 四不像
          • 定义判断敛散性
      • No
        • 发散
• 幂级数
  • 收敛半径和收敛域
    • ①limⁿ√an xⁿ(n的跨服是几就开几次方，x为绝对值或x²）＜1→收敛区间 即为R（必为开区间，与收敛域不同）→端点在判断 ②ρ=0，R=∞。ρ=∞，R=0。0＜ρ＜∞，R=1/ρ。
  • 概念
    • ∑anxⁿ或∑an(x-x0）ⁿ为幂级数
  • 性质
    • 逐项可导性
    • 逐项可积性
    • 用性质后与原级数收敛半径相同，但收敛域不一定相同
  • 函数展成幂级数
    • ①母型级数（小猪佩奇）
    • ②子型级数（三式配凑）
    • ③阶乘型级数（小猪佩奇，配凑）
  • 求幂级数的和函数