高数 第一章 函数极限与微积分

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第一章 函数极限与微积分

• 函数与极限
  • 函数
    • 定义
      • 两个变量，非空合集，有唯一数值相对应
      • y=f(x)
    • 类型
      • 初等函数
        • 概念
          • 由常数和基本初等函数经过复合运算所成的函数
        • 基本初等函数
          • 常函数
          • 幂函数
          • 指数函数
          • 对数函数
          • 三角函数
          • 反三角函数
        • 复合函数
          • 由y=f(u)及u=g（z）复合而成的函数，中间变量是u
          • 例子
      • 连续函数
        • 定义
          • 极限与函数值相等，记为
        • 简单性质
          • 和差乘除（分母不为0）仍是连续
      • 间断
        • 定义
          • 函数在某点不连续
        • 条件（满足一个或多个）
          • （1）函数无定义
          • （2）极限不存在
          • （3）极限存在但是极限与函数值不相等
  • 极限
    • 数列的极限
      • 数列
        • 概念
          • 按一定顺序排成的一列数，记为：。。。。通项—xn=f(n),n为自然数
        • 特性
          • 有界性
            • ｜x｜≦M
          • 单调性
            • 单调增加数列
              • 前一项都大于后一项
            • 单调递减数列
              • 前一项都小于后一项
      • 收敛数列
        • 定义
          • n无限增大时，xn无限接近于常数a
            • 记为。。。
        • 性质
          • 极限的唯一性
          • 有界性
          • 数列极限的夹逼准则
            • 例子
      • 发散数列
        • 不具备收敛数列条件
    • 函数极限
      • 定义
        • （1）自变量趋于无穷大时
        • （2）自变量趋于有限值是
      • 单边极限
        • 左极限
          • ＜
        • 右极限
          • ＞
        • 定理
          • 极限存在等价于左右极限存在且相等
      • 极限四则运算法则、推论
    • 无穷大和无穷小
      • 无穷大
        • 极限为无穷大
      • 无穷小
        • 定义
          • 极限为0
        • 性质
          • 和差
          • 常数X无穷小=无穷小
          • 无穷小X....X无穷小=无穷小
          • 无穷小X有界函数=无穷小
      • 关系
        • f(x)为无穷大，倒数为无穷小；反之也成立
    • 两个重要极限
      • （1）
      • （2）
• 导数与微分
  • 导数
    • 概念
      • 表达式、反应变化的快慢
      • 几何意义
      • 与连续的关系
    • 导数公式
      • 加减乘除的求导法则
      • 常用的导数公式
      • 复合函数求导
    • 高阶导数
    • 简单运用
      • 列表法
        • 驻点、分界点、不存在的点
      • 单调性
      • 极值
        • 第一充分条件
        • 第二充分条件
  • 微分
    • 定义
      • 表达式
      • 几何意义
    • 基本公式
    • 运算法则
    • 运用
      • 近似计算函数的增量
      • 近似计算某点处的函数值
• 积分学
  • 不定积分
    • 定义
      • 表达式
      • 与原函数的关系
      • 与微分运算的关系
        • 逆运算
    • 基本公式
    • 性质
    • 换元/凑微分法
    • 分部积分法
  • 定积分
    • 产生背景
    • 定义
    • 几何意义
    • 计算
    • 简单应用
      • 曲边梯形的面积
      • 旋转体的体积