第三章 线性方程组 106

高等代数的线性方程组相关思维导图。线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组）。大学高等代数的思维导图，仅供参考，有什么问题可以私信我。

线性方程组

• 1 消元法
  • 初等变换
    • 用一非零的数乘某一方程
    • 把一个方程的倍数加到另一个方程
    • 互换两个方程的位置
    • 自由未知量 基础解系
• 2 n维向量空间
  • 加法4 乘法2 数量乘法与加法2
• 3 线性相关性
  • 线性组合
    • 
  • 线性表出
    • 等价
      • 自反性，对称性，传递性
  • 线性相关
    • 
      • 部分相关
        • 整体相关
      • 整体无关
        • 部分无关
  • 线性无关
    • 如果向量组线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的n+1维的向量组也线性无关
      • 一向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量的个数相同
  • 大的由小的线性表出，大的必线性相关
    • 小的由大的线性表出，小的线性无关
    • 任意n+1个n维向量必线性相关
    • 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量
  • 极大线性无关组
    • 定义 一个向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个个向量，所得的部分向量组都线性相关
      • 向量组与它的任意极大线性无关组等价
      • 两个极大线性无关组的关系是等价
      • 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量
  • Ax=a Bx=b
    • 1 若（B，b）的每个行向量都可由（A，a）的行向量线性表出，则Ax=a的每个解都是Bx=b的解
    • 2 （A，a）与（B，b）行向量等价时，Ax=a与Bx=b同解
• 4 矩阵的秩
  • 一个矩阵的秩是r的充分必要条件是矩阵中有一个r级子式不为0，同时所有r+1级子式全为零
    • 一部分是，矩阵A的秩大于等于r的充分必要条件为A有一个r级子式不为零 另一部分是，矩阵A的秩小于等于r的充分必要条件为A的所有r+1级全为零
    • 在秩r的矩阵中，不为零的r级子式所在的行正是它行向量的一个极大线性无关组，所在的列正是它列向量的一个极大线性无关组
  • 概要
    • 线性相关
      • 方程组有非零解
      • 行列式=0
      • 秩<n
    • 线性无关
      • 只有零解
      • 行列式≠0
      • 秩=n
• 5 线性方程组有解判别定理
  • 线性方程组有解的充要条件为它的系数矩阵与它的增广矩阵有相同的秩
  • 当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解；当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩+1时，方程组无解
  • 
• 6 线性方程组解的结构
  • 两个解的和还是方程组的解
  • 一个解的倍数还是方程组的解
  • 在齐次线性方程组有零解的情况下，它有基础体系，并且基础解系所含解的个数等于n- r （r表示系数矩阵的秩，n-r是自由未知量的个数)
  • 基础解系
• 1 非齐次方程组的两个解的差是它的导出组（齐次）的解 2 非齐次方程组的解=通解+特解