线性方程组解的性质和解的结构思维导图

《线性方程组解的性质和解的结构》主要介绍三大部分，线性方程组的等价命题、齐次性方程组解的结构、非齐次线性方程组解的结构，也详细介绍了两者的性质和定理。

线性方程组解的性质和解的结构

• 线性方程组解的等价命题
  • 三种等价形式
    • 一般形式
    • 矩阵形式
    • 向量形式
  • 有解的等价命题
    • 对于齐次线性方程组
      • （1）方程组有非零解
      • （2）系数矩阵A的列向量组a1，a2，×××an线性相关
      • （3）存在不全为零的数k1,k2,...kn，使得k1a1+k2a2+...+knan=0成立
      • （4）系数矩阵的秩小于未知量个数，R(A)<n
      • (5)系数矩阵的列向量组的秩小于未知量的个数，R(a1,a2,...an)<n
    • A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关
    • 对于非齐次线性方程组
      • （1）方程组有解（唯一或无穷多）
      • （2）常数项b可由系数矩阵A的列向量组a1,a2,...an线性表示
      • （3）两个向量组a1,a2,...an和a1,a2,...an，b等价
      • （4）系数矩阵和增广矩阵有相同的秩
      • （5）向量组a1,a2,...an和向量组a1,a2,...an，b有相同的秩
• 齐次线性方程组解的结构
  • 性质1
    • 若向量x1，x2为齐次线性方程组AX=0的两个解，则x1+x2仍为AX=0的解
  • 性质2
    • 若向量x为齐次线性方程组AX=0的解，c为任意实数，则向量cx仍为AX=0的解
  • 定义1（解空间）
    • AX=0的所有解向量的集合S={X|AX=0}称为这个齐次线性方程组的解空间
  • 定义2（基础解系）
    • 设x1，x2，...xk为n元齐次线性方程组AX=0的k个解向量，如果满足x1，x2，...xk线性无关，方程组的任一解向量都可以由x1，x2，...xk线性表示，则称x1，x2，...xk为方程组AX=0的基础解系
  • 定理3
    • 若n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r<n,则该方程组必有基础解系，且基础解系所含解向量的个数为n-r.
  • 推论1
    • 若n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的秩R（A)=r<n,则它的任意n-r个线性无关的解都是一个基础解系
  • 定理4
    • 如果齐次线性方程组有非零解，则它的通解就是基础解系的线性组合，当齐次线性方程组AX=0的基础解系为x1，x2，...,xn-r时，其通解x=k1x1+k2x2+...+kn-rxn-r,性,其中k1,k2,...,kn-r为任意常数
  • 求基础解系及其通解的方法
    • 先求基础解系，再求通解
    • 先求通解，再求基础解系（缺谁补谁）
• 非齐次线性方程组解的结构
  • 性质1
    • 若h1，h2若为非齐次线性方程组AX=b的解，则(h1+h2)/2也为方程组的解
  • 性质2
    • 若h1，h2若为非齐次线性方程组AX=b的解，则h1-h2为其导出组AX=0的解
  • 性质3
    • 若h*为非齐次线性方程组AX=b的解，x为其导出组AX=0的解，则h=x+h*也是AX=b的解
  • 定理
    • 如果非齐次线性方程组AX=b有无穷多解，则它的通解可以表示为x=h*+h,其中h*为非齐次线性方程组AX=b的一个特解，而x为其导出组AX=0的通解
    • 进一步的，当x1，x2，...,xn为AX=0的一个基础解系时，非齐次线性方程组AX=b的通解可表示为x=h*+k1x1+k2x2+...+kn-rxn-r是任意常数
  • 求通解并用导出组的基础解系表示其通解的方法
    • 对增广矩阵实行初等变换化为行阶梯形矩阵，再求特解，从而对应齐次线性方程组求出基础解系
    • 将同解方程组改写，先求出通解，得知特解和基础解系