数量关系考公考编行测知识点梳理

带入排除法：适用范围、方法；倍数特性：整除判定、余数型：多退少补再倍数；方程法；在A=B×C这样的三量关系中，至多给出具体一个量的值。

数量关系

• 核心方法
  • 带入排除法
    • 适用范围
      • 典型题
        • 多位数、年龄、不定方程、余数
      • 看选项
        • 选项为一组数
      • 剩两项
        • 排除两项后，带入
    • 方法
      • 先排除
        • 尾数、大小、奇偶、偶数
      • 再代入
        • 最值、从简、居中原则
  • 倍数特性
    • 整除判定
      • 技巧
        • 3或9的倍数看各位数字之和；4看末两位数；2或5看末位
      • 因式分解
        • 判定X÷18，就只需判断X÷2且X÷9（分解后的两个数必须互质）
      • 拆分
        • 拆成两个数的和或差
          • X÷7……n，只看n能否整除
    • 余数型
      • 多退少补再倍数
      • y=ax+b，则y-b能被a整除
        • y=ax-b，则y+b能被a整除
    • 比例型
      • 分数、百分数、比例、倍数
      • 如果
        • A是m的倍数 A+B是m+n的倍数
        • B是n的倍数 A-B是m-n的倍数
  • 方程法
    • 普通方程
      • 设未知数
        • 设小不设大（避免分数）
        • 设中间量（方便列式）
        • 求谁设谁（避免陷阱）
        • 按份数设（出现比例）
    • 不定方程
      • 代入排除
        • 奇偶特性（系数一奇一偶）
        • 倍数特性（有公因子）
        • 尾数特性（尾数0或5）
    • 不定方程组
      • 消元
        • 数值为整数
      • 特值
        • 未知数可以为小数，求整体 赋一个为0
  • 赋值法
    • 适用范围
      • 题干中没有出现具体值
      • 在A=B×C这样的三量关系中，至多给出具体一个量的值
      • 常用于：工程问题、行程问题、经济利润问题、浓度问题
    • 具体方法
      • 对题目中的不变量赋值
      • 根据所给数字赋值公倍数
      • 根据所给比例关系赋值
      • 赋值尽量便于计算和化简
  • 线段法
    • 适用范围
      • 混合比例问题
        • 混合：由两个或多个部分组成一个整体
        • 比例：计算公式为两个量相除的形式
      • 浓度混合、平均数混合、利润率混合、折扣混合、比重混合、增长率混合
    • 具体方法
      • 混合之前写两端，混合之后写中间；距离和量成反比，份数计算不能反
    • 注意事项
      • 混合浓度，对应溶液量之比
      • 混合平均数，对应基数，例如：人均GDP，对应人数之比
      • 混合利润率，对应成本之比
      • 混合比重，对应总体之比
      • 混合增长率，对应基期量之比
• 工程问题
  • 三量关系：总量=效率×时间
  • 给完工时间型
    • 1. 赋总量（公倍数）
    • 2. 算效率=总量÷时间
    • 3. 根据工作过程列方程
  • 给效率比例型
    • 1. 赋效率（满足比例）
    • 2. 算总量=效率×时间
    • 3. 根据工作过程列方程
  • 给具体单位型（效率或总量）
    • 1. 设未知数
    • 2. 找等量关系
  • 牛吃草型
    • 特征：有增长有消耗
    • Y=（N-X）T （Y：原有量；N牛的头数×牛吃草的速度；X草生长的速度；T时间）
  • 统筹工程
    • 判定
      • 两个人完成两份工作，求最短时间
    • 方法
      • 比较同一份工作的效率，物尽其用，谁快谁做；另一个先让一个做完，再帮一个，另一个未完成的再合作（若一边倒，看倍数关系）
  • 同时开始同时结束
    • 判定
      • 多个人做多项工作，同时开始同时结束
    • 方法
      • 先整体分析，总时间=工作总量÷总效率，再单独求解
• 行程问题
  • 三量关系：路程=速度×时间
  • 普通行程
    • 火车过桥模型：S路=S桥+L车长
    • 火车在桥上：S路=S桥-L车长
    • 
  • 相对行程
    • 相遇追及
      • 相遇 S和=（V1+V2）·t=V和·t（环形遇N次，S=N圈）
      • 追及 S差=（V1-V2）·t=V差·t（追N次，S差=N圈）
    • 多次运动
      • 线形两端出发第N次相遇 （2n-1）·S=V和·t
      • 环形第n次相遇 n圈=V和·t
      • 环形第n次追及 n圈=V差·t
    • 顺水逆水
      • 顺水 V=V船+V水
      • 逆水 V=V船-V水
• 经济利润问题
  • 基础利润
    • 利润=售价-进价 利润率=利润÷进价 售价=进价×（1+利润率） 折扣=售价÷定价 总价=单价×数量（总利润=单个利润×数量）
  • 分段计算
    • 题型：水电费、出租车费、税费等
    • 找分段点、分段计算、再汇总求和
• 时间问题
  • 年龄问题
    • 基础知识
      • 年龄（周岁）=现在年份-出生年份
      • 两个人年龄之差始终不变
      • 每过n年，每个人都长n岁
      • 两个人年龄倍数随时间推移而变小
    • 方法
      • 代入排除法
      • 结合常识：父母之间年龄相仿，父母与孩子年龄差多为20-30岁
      • 方程法：等量关系列方程
  • 周期问题
    • 周期余数
      • 题型
        • 给出周期，求具体的某一类（天/个）
      • 解题思路
        • 确定周期，找准起点和终点，看清起点和总个数的对应关系
        • 计算余数：总个数÷每个周期的个数=周期数……余数（第n个，余n数过n天）（过n个=第（n+1）个
    • 周期相遇
      • 题型
        • 有多个周期，起点在一起，终点也在一起
      • 解题思路
        • 算出多个小周期的最小公倍数
        • 每隔n天=每（n+1）天
    • 星期计算推算
      • 题型
        • 给出一段时间内有若干个周期，推算某一天为周几
      • 常用结论
        • 连续7天，周一到周日均出现1次
        • 连续28天，周一到周日均出现4次
        • 连续7n天，周一到周日均出现n次
        • 过一个平年星期数+1，过一个闰年星期数+2
      • 解题思路
        • 起点是周几，再利用余数计算终点；取连续的28天，求前取后，求后取前
  • 钟表问题
    • 基础知识
      • 每昼夜24小时，每小时60分钟，每分钟60秒
      • 1圈=360°，一大格=30°，一小格=30°
      • 时针每分钟走0.5°，分钟每分钟走6°，速度差5.5°/分；分针与时针速度之比为12：1
      • 特殊角度
        • 直角：每小时2次，每昼夜48-4=44次（3点，9点，15点，21点重复计算，减去）
        • 重合：每小时一次，每昼夜24-2=22次（12点，24点重复计算，减去）
        • 180°角：每小时1次，每昼夜24-2=22次（6点，18点重复计算，减去）
    • 计算角度
      • 角度差=5.5°×时间差
      • 知角求角，先定基准时间，求出时间差，再算角度差，基准减差值
      • 选项差距较大时，画图或拨表
• 数列
  • 等差数列
    • 公式
      • 
      • 
    • 技巧
      • 项数为奇数，中间项为平均数
      • 项数为偶数，中间2项的平均数为平均数
      • 数列和一般来说能被n整除
  • 等比数列
    • 
    • 
  • 递推数列
    • 和递推（1，2，3，5，8）；积递推（1，2，2，4，8）
  • 多重数列
    • 一般多重
      • 项数多，7项或7项以上
      • 方法
        • 交叉：奇数项和偶数项分别成规律
        • 分组：两分组，三分组
    • 特殊多重
      • 均为小数，均为多位数
      • 方法
        • 小数：整数部分，小数部分
        • 多位数：分2-3个组，拆分各位数作和
  • 分数数列
    • 看分子分母是否单调变化
      • 是
        • 上下分开看
      • 否
        • 一起看，加加减减
        • 反约分
  • 图形数列
    • 有中心凑中心（对角线），无中心凑一组相同
    • 方阵
      • 大树在同行同列，凑大数
      • 大数不在同列同行，加和
  • 作商数列
    • 倍数关系明显，两两作商
  • 幂次数列
    • 转化为形式，或在幂次数附近加加减减
  • 非特征数列
    • 加加减减，一次不行，再加减一次
• 其他问题
  • 植树问题
    • 单边线形植树公式：棵树=总长÷间隔+1；总长=（棵树-1）×间隔
    • 环形植树：棵树=总长÷间隔；总长=棵树×间隔
    • 两侧植树记得×2
  • 方阵问题
    • 总人数：正方形N²，长方形MN
    • 最外层人数：正方形方阵最外层4N-4，长方形2（M+N）-4
    • 相邻两层人数相差8
  • 爬楼梯问题
    • 从地面：N层楼，爬了（N-1）层
    • 从M层：N层楼，爬了（N-M)层楼
  • 空瓶换酒问题
    • N个空瓶换1瓶酒，X个空瓶最多可以换瓶酒
    • 不是整数，取整
  • 比赛问题
    • N支队伍淘汰赛
      • 决出冠军，亚军，需比赛（N-1）场
      • 决出1.2.3.4名，需比赛N场
      • 每场淘汰一支队伍，每轮淘汰一半（奇数轮空）
    • N支队伍循环赛
      • 单循环赛，场数为
      • 双循环赛，场数为
• 几何问题
  • 公式类
    • 周长
      • 正方形C=4a 长方形C=2（a+b） 圆C=2∏r=∏d 弧长C=2∏r·
    • 面积
      • 正方形S=a² 长方形S=ab 菱形S=对角线相乘÷2 平行四边形S=ah 梯形S=（a+b）h 三角形S=ah 圆形S=∏r² 扇形S=∏r²
    • 表面积
      • 正方体S=6a² 长方形S=2ab+2bc+2ac 球体S=4∏r² 圆柱S=2∏r²+2∏rh
    • 体积
      • 正方体V=a³ 长方体V=abc 柱形V=S底h 锥形V=S底h 球体V=∏r³
  • 技巧类
    • 三角形
      • 直角三角形勾股定理a²+b²=c²（3.4.5；5.12.13）
      • 特殊三边关系
        • 30°角1：;:2
        • 45°角1：1：2
        • 120°等腰三角形 1：1：
      • 三边之和大于第三边，内角和180°
      • 园内、直径所对的圆周角90°
      • 有多个三角形，存在公共边，（高）底相同，面积之比为（底）高之比
    • 相似图形
      • 对应边之比=相似比
      • 周长之比=相似比
      • 面积之比=相似比²
      • 体积之必=相似比³
      • 角度一样
    • 连接各边中点
      • 三角形面积减少为1/4
      • 四边形面积减少为1/2
      • 梯形上边：下边=a：b 面积之比为 a²：b²：ab：ab
  • 最短距离问题
    • 两点之间线段最短
    • 平面：做镜面对称
    • 立体：展开成平面再连线（正方体5a 长方体
  • 最值理论
    • 平面几何中，若周长一定，越接近于圆，面积越大
    • 平面几何中，若面积一定，越接近于圆，周长越小
    • 立体几何中，若表面积一定，越接近于球，体积越大
    • 立体几何中，若体积一定，越接近于球，表面积越小
• 最值问题
  • 函数最值
    • 题型
      • 此消彼长/求最大利润或售价
    • 方法
      • 列式（方程），令=o，求两点
  • 构造数列
    • 题型
      • 某个主体最多，最少，排名第几
    • 方法
      • 构造名次，求谁设谁，反向推其他，加和列方程求解
  • 多集合反向构造
    • 题型
      • 读满足的至少
    • 方法
      • 反向、求和、作差
  • 最不利构造
    • 题型
      • 至少……保证……
    • 方法
      • 最坏情况数+1
• 溶液问题
  • 混合溶液
    • 溶质质量=溶液质量×浓度
    • 溶质、溶液都变
    • 公式法，方程法，线段法
  • 溶质不变
    • 浓度=溶质质量/溶液质量
    • 溶液和水混合或者蒸发溶液中的水
    • 以溶质不变为核心，公式，赋值
  • 溶液不变
    • 溶质=溶液×浓度
    • 多次混合，其中一种总量不变或两种总和不变
    • 以溶液不变为核心，赋值，公式
• 容斥原理
  • 公式
    • 两集合
      • A+B-A∩B=总数-都不
    • 三集合
      • 标准型：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不
      • 非标准型：A+B+C-（只）满足两项-满足三项×2=总数-都不
      • 常识型：满足一项+满足二项+满足三项=总数-都不
  • 画图
    • 公式条件不足的情况下，画圈圈
    • 从里往外标数，去重复，列式
• 排列组合与概率问题
  • 基础概念
    • 分类（要么要么）
      • 加法
    • 分步
      • 乘法
    • 排列
      • 与顺序有关
        • 
        • 
    • 组合
      • 与顺序无关
        • 
  • 方法
    • 枚举法（按一定顺序）
      • 凑数字（钱），情况少（可根据选项判定）
    • 捆绑法（邻在一起）
      • 先捆(相邻元素捆绑）再排（捆后再看为一体排列）
    • 插空法（不相邻）
      • 先排（先安排可以相邻的），再插（将不相邻插入空中）
    • 错位重排
      • 借调人员，互换车位，交叉审核等题型
      • 
    • 环形排列
      • n人环形排列，有  种排法
    • 插板法
      • 将n个相同的元素分给m个人，每人至少一个 共  种
  • 概率
    • 给情况求概率
      • P=满足数/总数
    • 给概率求概率
      • 分类 P=P1+P2+……Pn
      • 分步 P=P1×P2×……Pn
    • 逆向思维
      • 正难反易
        • P=1-反面情况
  • 跟屁虫题型
    • 求A和B在一起的概率
    • 分段算
      • A随便坐 Pa=1
      • B去找A Pb=选择/（总数-1）
      • P=Pa×Pb