高数积分知识总结

本导图总结了不定积分、定积分、曲线曲面积分和重积分的全部知识，包括它的计算方法和特殊性质等，知识全面详细，干货满满，现在不收藏，还在等什么呢

积分

• 不定积分
  • 概念
    • 原函数不唯一
    • 连续函数一定存在原函数
  • 性质
  • 换元积分法
    • 凑微分法
      • 思路：凑微分-还原-积分-带入
      • 公式
    • 第二类积分法
      • 三角函数换元：
      • 根式换元：
  • 分部积分
    • 公式：
    • 原则：v容易求得；fvdu比fudv
    • 选u顺序：反对幂指三
    • 子主题
  • 有理函数据积分
    • 概念：
    • ①对Q(x)拆分②比较同次幂系数
• 定积分
  • 定义
    • f(x)是被积函数，f(x)dx是被积表达式，x是积分变量，a,b分别是积分上、下限，[a,b]是积分区间
    • 可积性
      • 定理1:设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积
      • 定理2:设f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点（注：第一类间断点），则f(x)在[a,b]上可积
      • 定理3:设f(x)在[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积
  • 几何意义
    • 当f(x)≥0时，积分 表示由y=f(x)、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积
    • 当f(x)≤0时，积分 表示由y=f(x)、x=a、x=b与x轴所围成当曲边梯形面积负值
  • 性质
    • 性质1:
    • 性质2：
    • 性质3：设a<b<c，则
    • 性质4:
    • 性质5:在区间[a,b]上f(x)≥0，则
    • 性质5:在区间[a,b]上f(x)≥0，则
    • 性质6:若m≤f(x)≤M，则
    • 性质7（中值定理）:f(x)在区间[a,b]上连续，至少存在一点ε，使得
  • 积分上限函数
    • 定理
      • 定理1:f(x)在[a,b]上连续，则
      • 定理2:f(x)在区间[a,b]上连续， 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数
      • 定理3:f(x)在区间[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则
        • 牛顿-莱布尼兹公式
  • 运算方法
    • 还原法
    • 分部积分法
  • 反常积分
    • 定义：如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么点a称为函数f(x)的瑕点（无界间断点）。无界函数的反常积分也称作瑕积分。
    • 反常积分有极限就收敛，无极限则发散
    • 形式：
• 曲线曲面积分
  • 曲线积分
    • 第一类曲线积分
      • 对弧长的曲线积分
        • 特殊替代法
        • 定积分法
          • 直角坐标法
          • 参数方程法
    • 第二类曲线积分
      • 对坐标的曲线积分
        • 定积分法
          • 直角坐标法
          • 参数方程法
        • 二重积分法或格林公式
          • D是连通区域，L是D的正向边界（单连通区域逆时针为正，多连通区域外逆内顺为正）
          • P、Q在D上连续可导
  • 曲面积分
    • 第一类曲面积分
      • 对面积的曲面积分
        • 方法
          • 二重积分法
            • 形式
            • z用x、y的关系式来表示
          • 特殊替代法
    • 第二类曲面积分
      • 对坐标的曲面积分
        • 方法
          • 二重积分法
            • 形式
            • 奇函数2倍、偶函数=0
              • 站在x正方向看“前+后-”
              • 站在y正方“向看右+左-”
              • 站在z轴正方向看“上+下-”
          • 高斯公式
            • 条件
              • D是几何体，∑是D的外表面，封闭
              • 子主题
            • 形式
    • 应用
      • 体积=高X底面积
        • 当f(x,y)≥0时， 表示由曲面f(x,y)与其在区域D上的投影面所围区域的体积
        • 当f(x,y)≤0时， 表示由曲面f(x,y)与其在区域D上的投影面所围区域体积的负值
      • 质量=面密度X面积
        • 已知：一平面薄片占有xOy面上的闭区域，且在点(x,y)上点面密度为μ(x,y)>0且在D上连续
        • 薄片质量M=
• 重积分
  • 二重积分
    • 定义
      • • 存在性
          • 当f(x,y)在闭区域D上连续，函数f(x,y)在D上当二重积分存在
    • 性质
      • 性质一
      • 性质二
        • 闭区域D被有限的曲线分为有限个部分，则
      • 性质三
        • :在D上σ为D的面积，则
      • 性质四
        • 在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则
      • 性质五
        • 若 ，则
      • 性质六：中值
        • f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，在D上至少存在一点（ξ,η）,使得
    • 计算
      • 直角坐标法:后积先定限 限内画条线 先交为下限，后交为上限
        • 先x后y
        • 先y后x
      • 极坐标法
        • f(x,y)中含有x²+y²,x/y,y/x
        • 积分区域为圆,环，扇域
  • 三重积分
    • 计算
      • 截面法
        • 被积函数仅用一个变量表示，例如x,z,y
        • 截出的面积好表示，可以直接积分
      • 球坐标(r,φ,θ)
        • r²sinφdrdφdθ
      • 柱坐标(r,θ，z)
        • rdrdθdz
      • 穿针法(投影法)
      • 性质
    • 对称性
      • 常考点:1计算中可以简化(尤其在被积函数复杂时)2.同一个被积函数在不同Ω的数值关系，通常有比例关系
      • 有时候对称性，不是明显Ω所具有的，需要分割
      • 1.如果积分区域关于xoy(z=0)平面对称，则被积函数满足f（-z）=-f（z），则积分为0 被积函数如果是f（-z）=f（z），则积分为2倍积分正z区间
• 主题
• 连续
  • 可积