群论基础思维导图

本思维导图为伽罗瓦的群论基础，内容有群公理、分类、子群、轮换置换对换、可解群、乘法。在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。收藏下图学习吧！

群论

• 群公理
  • 1、封闭性
  • 2、符合结合律
  • 3、具有单位元e
  • 4、一个群元素乘以其逆元等于单位元{e}
• 分类
  • 子主题 1
    • 循环群C
      • 轮换
    • 对称群S
      • 置换
  • 按子群种类分
    • 真子群
    • 平凡子群
  • 按满不满足交换律分
    • 阿贝尔群
    • 非阿贝尔群
• 子群
  • 子主题 1
  • 幺群：只有单位元{e}构成的群叫单群
  • 循环群C
  • 平凡子群
  • 群的拉格朗日定理：对于一个有限群中，它的子群的阶一定是它的阶的因数/约数
    • 阶即群的元素数量
• 轮换，置换，对换
  • 轮换—对称群
  • 置换—对称群
  • 对换—数字两两对换
  • 任何置换都可以通过对换得到
    • 冒泡法则
    • 1.任何通过奇数个对换得到的置换只能通过奇数次对换得到
      • 偶置换
        • 在一个有限群中，所有偶置换构成一个群，称为交错群
        • 在一个有限群中，所有偶置换构成一个群，成为交错群
    • 2.任何通过偶数个对换得到的置换只能通过偶数次对换得到
      • 奇置换
• 可解群
  • 正规子群列：如果有限群G存在一个正规子群G1，G1还有个正规子群G2，.....，以此类推，一直到最后的子群是幺群，那这就是个正规子群列。
  • 可解群：上述正规子群列中每个有限群对其对应的子群的商群，都是阿贝尔群。才称这个群G可解。即为可解群
  • 多次置换群的可解程度
    • 2次置换群：S2。这个2代表的是“次”，不是“阶”，（1 2）（2 1），所以S2置换群总共俩元素，其子群为幺群，商群为S2本身，本身为阿贝尔群，可解。
    • 3次置换群：S3。其正规子群为交错群A3，还记得啥叫交错群吧，就是所有偶置换元素的集合构成的群，A3的正规子群为幺群，那么根据商群定理：S3/A3 的商群元素个数为 6/3=2；A3/e 的商群元素个数为 3/1=3,。 这俩数字都是素数，也就是这俩商群都是素数阶群，素数阶群必为阿贝尔群，可解！
    • 4次置换群：S4。其正规子群列为：S4△A4△V△e。V为克莱因四元群，有四个元素。那么这三个商群的元素数量分别是：2、3、4.前两个是素数没问题，是阿贝尔群，最后一个不是素数，但是V本身是阿贝尔群，所以，商群还是阿贝尔群。可解！
    • 5次置换群：S5。正规子群列：S5△A5△e.A5同构与S5，然而，S5本身是非阿贝尔群，所以A5也是非阿贝尔群，A5/e 的商群同样就非阿贝尔群了，不可解！
    • 5次以上的置换群，都不可解！任何5次以上的置换群一定包括5次置换群，如S6中存在一个群：不动6，其余数交换，本质是S5群
• 乘法
  • 乘法指依次进行操作
  • 乘法：操作从左往右操作
    • 类比矩阵，可能不满足乘法交换律
    • 满足交换律的群叫阿贝尔群
    • 不满足交换律的群叫非阿贝尔群
  • 元素与群的相乘
    • 结果为集合，元素与群里的元素一个一个乘
    • 左陪集：元素×集合
    • 右陪集：集合×元素
    • 可能不相等
      • 正规子群：如果用群G中的任何元素去作用它的子群H，得到的左右陪集相等，则称子群H为群G的正规子群
        • 任何阿贝尔群的子群都是正规子群
        • 表达符号：G▷H或H◁G
      • 分类
        • 幺群，循环群：平凡正规子群
        • 其余：非平凡正规子群
          • 还有更基础的对称
      • 商群
        • 基本概念
          • 定义：G/H
          • 意义：有限群G对于 子群H 所形成的不同类型的左陪集的集合。
          • 元素个数：|G| / |H|
        • 具体解释
          • 抛弃那些虚头巴脑的东西，就是有限群G里的每个元素和其子群H 相乘，得到其左陪集时，总共有有限群G的元素个数个左陪集，然而，这些左陪集作为集合，我们知道集合，勿论其排序如何，只要元素一样，那就是相等的。而这所有的左陪集就是有相等的，所以把这些相等的左陪集约了以后，剩下的数量就是 |G| / |H| 。这些化简后的集合叫做商群。
          • 商群既然也是群，那肯定有“单位元e”，商群里的单位元e 就是子群H，因为有限群里的第一个元素肯定是“e元”，子群和“e元”相乘还是本身。所以商群里肯定有一个元素是“子群H”。你们可以自己尝试下证明：某元素对子群H 的左陪集与子群H 相乘还是左陪集本身！
          • 这也就是把有限群按照子群H 的分类、找小团伙。因为那些左陪集相等的有限群G的元素，就是一个团伙的。这算是分类。
          • 注意o，必须是正规子群才能形成商群，否则是齐次空间。
          • 有个拉格朗日定理可以帮助证明：一个有限群G，群H是其子群，a、b∈G，如果 a ∈ bH，那么 aH = bH 。
          • 意思就是：有限群G的元素，如果其中一个元素是【另一个元素与子群H形成的左陪集（这是一个集合）】中的一个元素，那么这两个元素对子群H的左陪集一样，他们是一个小团伙的，是一类的，叫做等价类
      • 单群-simple group
        • 定义：正规子群只有幺群和本身的有限群。
        • 分类
          • ①素数阶循环群。 拉格朗日定理证明确实是。
          • ②n >= 5 的交错群（所有偶置换元素的集合）