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汤家凤线性代数

线性代数笔记，总结了行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值和特征向量的基本概念和重点知识，值得收藏。

编辑于2021-07-17 09:59:29

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汤家凤线性代数

行列式

本章概要

行列式本质是一个数

低阶计算思路

1，转化为上三角

2，降阶

n阶计算方法

数学归纳法

递推法

升阶法

转化为上三角

向量组的相关性

线性无关

矩阵的满秩与可逆

满秩；当丨A丨≠0时，又称A为非奇异矩阵。

可逆

方程组的解

AX＝0只有零解

AX＝b有唯一解

特征值，特征向量

重点知识讲解

基本概念

逆序

逆序数

行列式D

余子式M和代数余子式A

特殊的高阶行列式

对角上三角行列式

范德蒙行列式

分块行列式

计算性质

转化为上三角行列式的性质

行列式的降阶性质

矩阵

本章概要

矩阵的应用

矩阵对应的行列式

解矩阵方程

向量组的秩

线性方程组的解

矩阵的对角化与二次型的标准化

重点知识

概念

矩阵

同型矩阵及矩阵相等

伴随矩阵

A为方阵

AA*＝丨A丨E

特殊矩阵

零矩阵

n阶方阵

单位矩阵及数量矩阵

转置矩阵

非奇异矩阵

n阶方阵

丨A丨≠0

实对称矩阵

矩阵运算及性质

1，左边矩阵的列数与右边矩阵的行数相等 2，外标决定乘积矩阵的型 4，A≠0，B≠0不能推出AB≠0 A≠0，不能推出A的k次方≠0 5，AB≠BA 6，矩阵多项式 7，AB＝A（β1，.....βn）＝（Aβ1，.......，Aβn）

三则运算

加减

A×B＝C

三则运算性质

A➕B＝B➕A

（A➕B）➕C＝A➕（B➕C）

（AB）C＝A（BC）

（k+l）A＝kA+lA

k（A➕B）＝kA➕kB

A（B➕C）＝AB➕AC

设A是m×n矩阵，B，C分别为n×s，n×l矩阵，则A（B丨C）＝（AB丨AC）

矩阵的转置运算及性质

逆阵理论

定义：Aˉ¹ AAˉ¹＝E

存在定理：A为方阵，且A可逆

若A可逆有Aˉ¹＝1╱丨A丨×A*

可逆，AB＝AC→B＝C

可逆的充要条件：丨A丨≠0

逆阵求法

伴随矩阵法

初等交换法

Ei，j

Ei（C）

Eij（k）

定理

性质

秩理论

定义：A中任取r行r列，形成r阶行列式，称为A的r阶子式如果存在r阶子式不为0，所有的r+1阶子式都为0，称r为A的秩，证r（A）＝0

求法

性质

r（A）＝r（AT）＝r（AAT）＝r（ATA）

r（A±B）≤r（A）+r（B）

r（AB）≤min（r(A) ，r(B) ）

AB＝0，则r（A）+r（B）≤n

PQ可逆，则r（A）＝r（PA）＝r（AQ）＝r（PAQ）

r（A*）＝n，r（A）＝n ＝1，r（A）＝n-1 ＝0，r（A）＜n-1

矩阵等价

定义

A有限次初等变换B

判别法

A，B为同型矩阵，则A，B是等价的充要条件是r（A）＝r（B）

同型矩阵，存在逆矩阵P，Q，使得PAQ＝B

向量

概念

向量

向量的模

向量的单位化

向量的三则运算

向量的内积

性质

三则运算性质

内积运算性质

向量组的相关性与线性表示

基本概念