函数极限与连续

这是一篇关于数学函数极限与连续的思维导图。

第一讲函数极限与连续

• 函数极限的定义及使用
  • 定义
    • 七种形式
  • 使用
    • 是常数
    • 唯一性
    • 局部有界性
    • 局部保号性
    • 等式脱帽法
    • 5个考点，有5分
• 函数极限的计算
  • 化简先行
    • 等价无穷小替换
      • 11种替换
    • 恒等变形
      • 提取公因式
        • 指数，幂指
      • 换元（x-t=u，x=1\2）
      • 通分
      • u^v=e^vlnu
      • 用公式
        • 因式分解
        • 分子有理化
      • 用中值定理
        • 拉格朗日中值定理分：f(X)-f(Xo)=f’(§)(X-Xo)
          • 1.看f和f’的关系
          • 2.f-f
        • N-L公式：积分（X-Xo）f’(t)do=f(X)-f(Xo)
          • 使用关系和拉格朗日中值定理一样是2点
        • 积分中值定理：积分（X-Xo）f(t)dt=f(§)(X-Xo)<=>积分(b-a)=f(§)(b-a),其中§€(a,b)或者【a，b】
          • 1.见到抽象的积分，先用一下再说
          • 2.往往使用这个公式是为了统一形式。
        • 泰勒展开式：处理高阶问题
    • 及时提出极限存在且不为0的因式
      • 见例题1，12（22年选择第一题）
  • 洛必达法则
    • 三种运算规则
      • 1.0｜0型或者∞｜∞型
      • 2.分子分母均可导
      • 结果必须为0，C（C不等于0），∞
      • 三者缺一不可，少其中任何一个洛必达法则失效，另求他发：夹逼准则。
  • 泰勒公式
    • 熟记常用公式
      • 10个
    • 展开原则
      • A｜B型，适用于“上下同阶”原则（A•B=A|1/B=A|C)
      • A-B型，适用于“幂次最低”原则(A+B=A-(-B))
  • 无穷小比阶
    • 极限X—>•f(X)|g(X)[0|0型]=
      • 0，称f（X）是g（X）的高阶无穷小
      • C（c不等于0），称f（X）是g（X）的同价无穷小
      • ∞，称f（X）是g（X）的低阶无穷小
      • 当为等价无穷小时，极限要为1
      • 见例题1，16-1，18
  • 夹逼准则
    • 1.g(X)<=f(X)<=h(X)
    • 极限g(X)=A,极限f(x)=A
    • 则极限f(X)存在，且f(X)=A
  • 三个方法+一个题型，5+10分
• 函数极限的存在性
  • 具体型（若洛必达失效，则用夹逼准则）
    • 可能会有12分大题，见例题1，19，1，20
  • 抽象型（单调有界准则）
    • 从未考过，例题1，21
• 函数极限的应用——连续与间断
  • 研究位置
    • 分段函数的分段点（不定）
    • 无定义点（间断）
  • 连续
    • 内点处：即f(X)左极限=右极限=该点函数值
    • 端点处：X€[a,b].若limX->a+ f(X)=f(a),则称f(X)在X=a处右连续 若lim X—>b- f(X)=f(b),则称f(x)在X=b处左连续
      • 左端点谈右连续 右端点谈左连续
    • 见例题1，22，1，23
  • 间断，前提f(X)在X=Xo左右两侧均有定义 1:limX->Xo+ f(X) 2:limX—Xo- f(X) 3:f(Xo) 当三者相等时为连续函数
    • 第一间断点
      • 1，2存在但1不等于2，则X=Xo为跳跃间断点
      • 1，2均存在且1=2但不等于3，则X=Xo为可去间断点
    • 第二间断点
      • 1，2至少有一个不存在且为无穷大，则X=Xo为无穷间断点
      • 1，2至少有一个不存在且振荡，则X=Xo为振荡间断点。
    • 见例题1，24-1，26，
  • 每年必有五分