二次型

n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项次数都为2的多项式，二次项是线性代数的重要内容之一！

二次型

• 二次型及其矩阵
  • 定义
    • 定义1
      • 含有n个变量x1，x2...xn的二次齐次多项式称为n元二次型，简称二次型
    • 定义2
      • 只含平方项的二次型称为二次型的标准型
  • 二次型的矩阵表示法
    • 设aij=aji,则经过化简为：XTAX
    • 显然二次型的矩阵为实对称矩阵
  • 二次型矩阵的秩
    • 其实对称矩阵A的秩就是二次型的秩
  • 二次型经可逆变换后的矩阵
    • 若变换矩阵为可逆的，则称为可逆变化，若为正交矩阵，则称为正交变换
  • 合同
    • 定义
      • 设A,B为两个n阶矩阵若有n阶可逆矩阵P使得PTAP=B,则称矩阵A与B合同
    • 性质
      • 自反性
      • 对称性
      • 传递性
    • 等价、合同、相似的关系
      • 相似则等价，反之错误
      • 合同则等价，反之错误
      • 正交相似与合同一致
      • 实对称矩阵一定与对角阵合同
  • 定理
    • 二次型f ( x1，X2，x3…xn ） = XTAX经可逆变换X=CY变成新变元的二次型f=YTBY，他的矩阵B=CTAC且r (A) = r ( B)
• 正交变换法化二次型为标准型
  • 实质
    • 找可逆矩阵C使得CTAC=A为对角阵
    • 二次型均能化为标准型:因为任意实对称矩阵都能与对角阵正交合同
  • 定理
    • 对角阵对角线上的元素即为特征值
  • 步骤
    • (i)写出二次型的矩阵A;
    • (ii)求出A的所有相异的特征值v1,v2...vm;
    • (iii)对每一个重特征值vi，求出对应的ri个线性无关的特征向量ai1,ai2… ,ain, (i=1,2,…,m),由性质知r1+r2+...rm=n.
    • (iv)用施密特正交化方法将每一个重特征值vi所对应的ri个线性无关的特征向量ai1,ai2...airi (i = 1,2,…,m)先正交化再单位化为bi1,bi2...biri(i=1,2,...m),它们仍属于vi的特征向量
    • (v)将上面求得的正交单位向量作为列向量，排成一个n阶方阵Q,则Q即为所求的正交方阵。此时Q-1AQ=QTAQ=A为对角阵
    • (vi)作正交变换X =QY,即可将二次型化为标准形,f=XTAX =(QY)T A(QY)=YT(QT AQ)Y =YTAY
• 配方法化二次型为标准型
  • 情形1
    • 二次型中含有平方项，如果含有x1^2，此时先集中含有x1的项对x1配成完全平方，在集中x2的项，以此类推直至化为标准型
  • 情形2
    • 二次型中不含平方项，只含有xixj的项，则做可逆线性变换将其化为含有平方项，在按照情形1中计算
• 二次型的分类
  • 定义
    • 对于任意非零的向量( c1 , c2-cn ) T，恒有f ()>0则称f是正定二次型，反之为负定对应的矩阵即为正定或负定
  • 正定
    • 负定
  • 准正定
    • 准负定
  • 二次型正定的判定
    • 定义判别
    • 标准型判定
      • 定理1:实二次型正定的的充要条件为系数均是正数
      • 定理2∶可逆线性变换不改变二次型的正定性
      • 定理3∶实二次型f征定的充要条件为f的标准型中n个系数全为正数
      • 推论1∶二次型的正定充要条件为矩阵A的全部特征值均为正数
      • 推论2∶若A正定，则|A|>0
      • 推论3∶若A正定，则A与单位阵合同，即有可逆阵C，使得CTAC = E
    • 特征值判定
      • 设A为正定阵，证明A-1、A*都是正定阵
    • 顺序主子式
      • 二次型f正定的充要条件是矩阵A的各阶顺序主子式都大于零