导图社区 二次型
n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项次数都为2的多项式，二次项是线性代数的重要内容之一！
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二次型
二次型及其矩阵
定义
定义1
含有n个变量x1，x2...xn的二次齐次多项式称为n元二次型，简称二次型
定义2
只含平方项的二次型称为二次型的标准型
二次型的矩阵表示法
设aij=aji,则经过化简为：XTAX
显然二次型的矩阵为实对称矩阵
二次型矩阵的秩
其实对称矩阵A的秩就是二次型的秩
二次型经可逆变换后的矩阵
若变换矩阵为可逆的，则称为可逆变化，若为正交矩阵，则称为正交变换
合同
设A,B为两个n阶矩阵若有n阶可逆矩阵P使得PTAP=B,则称矩阵A与B合同
性质
自反性
对称性
传递性
等价、合同、相似的关系
相似则等价，反之错误
合同则等价，反之错误
正交相似与合同一致
实对称矩阵一定与对角阵合同
定理
二次型f ( x1，X2，x3…xn ） = XTAX经可逆变换X=CY变成新变元的二次型f=YTBY，他的矩阵B=CTAC且r (A) = r ( B)
正交变换法化二次型为标准型
实质
找可逆矩阵C使得CTAC=A为对角阵
二次型均能化为标准型:因为任意实对称矩阵都能与对角阵正交合同
对角阵对角线上的元素即为特征值
步骤
(i)写出二次型的矩阵A;
(ii)求出A的所有相异的特征值v1,v2...vm;
(iii)对每一个重特征值vi，求出对应的ri个线性无关的特征向量ai1,ai2… ,ain, (i=1,2,…,m),由性质知r1+r2+...rm=n.
(iv)用施密特正交化方法将每一个重特征值vi所对应的ri个线性无关的特征向量ai1,ai2...airi (i = 1,2,…,m)先正交化再单位化为bi1,bi2...biri(i=1,2,...m),它们仍属于vi的特征向量
(v)将上面求得的正交单位向量作为列向量，排成一个n阶方阵Q,则Q即为所求的正交方阵。此时Q-1AQ=QTAQ=A为对角阵
(vi)作正交变换X =QY,即可将二次型化为标准形,f=XTAX =(QY)T A(QY)=YT(QT AQ)Y =YTAY
配方法化二次型为标准型
情形1
二次型中含有平方项，如果含有x1^2，此时先集中含有x1的项对x1配成完全平方，在集中x2的项，以此类推直至化为标准型
情形2
二次型中不含平方项，只含有xixj的项，则做可逆线性变换将其化为含有平方项，在按照情形1中计算
二次型的分类
对于任意非零的向量( c1 , c2-cn ) T，恒有f ()>0则称f是正定二次型，反之为负定对应的矩阵即为正定或负定
正定
负定
准正定
准负定
二次型正定的判定
定义判别
标准型判定
定理1:实二次型正定的的充要条件为系数均是正数
定理2∶可逆线性变换不改变二次型的正定性
定理3∶实二次型f征定的充要条件为f的标准型中n个系数全为正数
推论1∶二次型的正定充要条件为矩阵A的全部特征值均为正数
推论2∶若A正定，则|A|>0
推论3∶若A正定，则A与单位阵合同，即有可逆阵C，使得CTAC = E
特征值判定
设A为正定阵，证明A-1、A*都是正定阵
顺序主子式
二次型f正定的充要条件是矩阵A的各阶顺序主子式都大于零
