【线性代数行列式与矩阵知识点括囊】预习，期末、期中复习指南

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《线性代数》

第一章 行列式

二阶与三阶行列式

新运算

二阶行列式

aij——i:行标 j:列标

左对角线（主对角线）：左上至右下 右对角线（次对角线）：右上至左下

三阶行列式

对角线法则 沙路法则

n阶行列式

排列

由自然数1，2，……，n组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为n级排列（简称为排列）

123，321，213，……——三级排列

逆序

一个大的数排在一个小的数前面就叫逆序；一组排列的逆序数的和叫做逆序数

奇排列——逆序数为奇数

偶排列——逆序数为偶数

N级标准排列（自然排列）——逆序数为零

数逆序数：从第一个开始数有几个比它小的

例：N（54123）=7

对换

交换一组排列的两个数——一次对换，奇偶性改变

n阶排列式

定义一：按行展开—— 行标取标准排列 列标取标准排列的所有可能，从不同行不同列取出三个元素相乘，符号由列表排列的奇偶性确定（偶排列为正；奇排列为负）

（例）

（此定义一般用在特殊情况）

某一项按行展开时符号由列标排列的逆序数决定

定义一*：按列展开——与定义一相反

定义一**：既不按行也不按列展开

*符号：行标排列的逆序数+列标排列的逆序数

定义二：上/下三角行列式=主对角线元素相乘

定义二*：上/下三角行列式=（符号）副对角线元素相乘（前面符号不为1）

符号：(-1)n(n-1)/2

行列式的性质

转置(D^T)

行与列交换

性质一：D=D^T

性质二：其中两行互换，值变号

推论：行列式两行或两列对应相等，D=0

性质三：某一行都乘以k，等于用k乘以D

推论：行列式某一行有公因子k，k可以提到外面去

性质四：两行对应成比例，则D=0

推论：若某一行等于0，D=0

（性质五：是和的那一行分开，其余行不变）

*性质六：某一行乘以一个数，加到另一行上去，D不变

行列式按行（列）展开

余子式

在行列式中选定一个元素，将其所在的行和列去掉，使剩下的元素按原来的行、列排列所构成的新行列式，称为Mij（i=行，j=列）

代数余子式

余子式前乘以（-1）^i+j，称为Aij

定理一：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

推论：异乘变零定理，某行元素与另一行元素的代数余子式的乘积之和=0

拉普拉斯（展开）定理

在n阶行列式中，取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和=D

k阶子式：在行列式中取定k行k列，将处于行与列交叉位置的元素提出来形成新的k阶行列式

行列式相乘

定理一：假设D1和D2是两个n阶行列式，则它们的乘积可以表示成一个n阶行列式【同阶行列式才能用此定理】

克莱姆法则（解方程组）

只适用于方程个数=未知数个数

系数行列式：将方程组的系数提出来，形成一个新的行列式（在克莱姆法则中，系数行列式不能=0）

将方程组的解依次替换系数行列式的1、2、3列，所得新行列式与系数行列式的比值即为方程的解

如果齐次方程组系数行列式不等于0，则只有0解

如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式=0

第二章 矩阵

矩阵的概念

定义：由m(行数)×n(列数)个数aij(i行j列的元素)排成的m行n列的数表，称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵

实矩阵：矩阵所有元素为实数

复矩阵

行矩阵：只有一行的矩阵

列矩阵：只有一列的矩阵

零矩阵：元素都是0的矩阵，记作0

负矩阵：所有元素都取相反数后

n阶方阵：行数=等于

单位阵(方阵)：主对角线是1，其余元素全是0，记作E或I

同型矩阵：两个矩阵行数和列数对应相等

矩阵的运算

加减法

数乘

矩阵相乘

前提条件：第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数

结果矩阵的形状： 结果矩阵行数=第一个矩阵的行数 结果矩阵列数=第二个矩阵的列数

（与零矩阵相乘）

（与单位阵相乘）

乘法运算规律

结合律：（AB）C=A（BC）

分配律：（A+B）C=AC+BC

k(AB)=(kA)B=A(kB)

矩阵幂运算

（矩阵幂运算的性质）

（矩阵幂运算的性质）

（遇到高次幂运算时，先分开，再抵消）

矩阵的转置(A^T)

行与列交换

s

（For 4) ）

（For 4) / 2) ）

特殊矩阵（方阵）

数量矩阵：主对角元素全部相等，其余元素全是0

对角形矩阵：主对角线是a1到an，其余元素全是0

可写成diag(a1,a2,...,an)

（三角形矩阵）

对称矩阵与反对称矩阵：与行列式里的定义差不多

反对称矩阵：A^T=-A

逆矩阵

方阵的行列式

定义：将一个方阵中的元素提出来，加上两根竖线变成行列式

性质1：|A^T|=|A|

*性质2：|kA|=k^n|A|

性质3：|AB|=|A|*|B|（A、B同阶）

伴随矩阵（A*）

1.求所有元素的代数余子式

2.按行求的代数余子式按列放，构成一个新的矩阵——伴随矩阵

定理1：对任意方阵A，有AA*=A*A=|A|E

推论：|A*|=|A|^n-1

逆矩阵

定义：设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E,则B叫做的A逆矩阵，记作A^-1=B

逆矩阵满足三个基本事实：

未必所有方阵均可逆

如果一个方阵可逆，则其逆矩阵是唯一的

定义

满足可逆的条件：

定理一：A可逆的充要条件是|A|≠0，其可逆时 A^-1=(1/|A|)A*

推论：假设A,B是方阵,若满足AB=E/BA=E，则A可逆，A^-1=B

性质：

如果A可逆，那么A^-1也可逆，并且（A^-1）^-1=A

如果A、B均可逆，则AB也可逆，并且（AB）^-1=B^-1A^-1

若A可逆，则其转置A^T也可逆，并且(A^T)^-1=(A^-1)^T

如果k≠0，那么kA也可逆，并且(kA)^-1=(1/k)A^-1

若A可逆，那么|A^-1|=|A|^-1

若A可逆，A*也可逆，(A*)^-1=(1/|A|)A

矩阵方程

解矩阵方程时的常见错误： 1.提的时候要注意方向 2.一个矩阵不能减一个数，必须减去一个矩阵，将数带上一个单位阵E 3.矩阵永远不要放在分母上 4.先判断可逆再写逆矩阵 5.用初等变化法求逆矩阵（伴随矩阵法麻烦）

分块矩阵

用一气呵成的线直线将原来的矩阵分成一个新的矩阵

标准形

（从左上角开始的一串不断的1，其余地方都是0）

分块矩阵的运算

（前提条件：要满足矩阵乘法的前提）

分块矩阵求转置

1.把子块视作元素求转置

2.对每个元素求转置

初等变换

本质：对矩阵的一种变换

行

交换两行

用k（k≠0）乘某一行

某一行的l倍加到另一行上去

列

与行差不多

当要变换的矩阵是个方阵时

定理一：任一矩阵都可通过初等变换化为标准形

等价：A经初等变换得到B，则这两个矩阵等价

反身性：A≌A

对称性：A≌BB≌A

传递性：A≌B B≌CA≌C

任何矩阵A都等价于标准形

初等方阵

定义：对E做一次初等变换得到的矩阵

交换两行

行列式恒等于-1

逆矩阵：E^-1(i,J)=E(i,J)

用k（k≠0）乘某一行

行列式恒等于k

逆矩阵：E^-1(i(k))=E(I(1/k))

某一行的l倍加到另一行上去

行列式恒等于1

逆矩阵：E^-1(i,J(e))=E(i,J(-l))

定理：设A是任意一个矩阵，用第二种初等方阵左乘A，相当于对A实施第二种初等行变化

用同种初等方阵右乘A，相当于对A实施第二种初等列变换

A可逆的充要条件：

A≠0

A的标准形为E

A=一些初等矩阵的乘积

初等行变换求逆矩阵

对A、E做同样的初等行变换，当A化成E之时，E就化成了A^-1

解题注意事项：

先第一列再第二列 第三列

写整行，对整行进行操作

第一列处理好后，第一行不再参与运算

矩阵与矩阵之间用箭头连接

只进行行变换

不管是否可逆，如左边化不成E，说明A不可逆

矩阵的秩

定义：非零子式的最高阶数，记为r

r(0)=0

设Am×n，0≤r(A)≤min{m,n}

r(A)=m,取了所有行，称为行满秩

r(A)=n,取了所有列，称为列满秩

r(A)=min{m,n}，称为满秩

r(A)=m＜min{m,n}，称为降秩

A为方阵且满秩⇌A可逆

定理一：r(A)=r ⇌ 至少有一个r阶子式不为0，而所有的r+1阶为0

阶梯形矩阵：

若有0行在非0行的下边

自上而下左起第一个非0元素的左边0的个数随行数增加而严格增加

*行简化阶梯形：先是个阶梯形矩阵，且非零行的首非零元是1，首非零元所在列的其余元素是0

r(A)=非零行的行数

初等变换不改变矩阵的秩

秩的性质

r(A)=r(A^T)

任一矩阵乘可逆矩阵它的秩不变

假设有矩阵Am×n，P是m阶可逆方阵，Q是n阶可逆方阵 r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

特征值与特征向量

假设A为n阶方阵，对于一个数β，若存在非零列向量α，使得Aα=βα，那么β就叫一个特征值，α对应于β的特征向量

第三章以后

首非零元有几个数，其秩就是几

行满秩和列满秩统称为满秩

只做行变换

初等方阵均可逆，其逆矩阵也是初等方阵，其转置也是初等方阵

与行列式性质相似

矩阵与矩阵之间应用箭头连起来

标准形不一定是方的

（矩阵必须与矩阵相加减，不能只剪一个数）

计算

【给表达式验证T可逆，将T*（）=E】

伴随矩阵法（计算量大）

若一个矩阵的行列式|A|≠0，可称其为非奇异/非退化/满秩

按行求，按列放

只有方阵才有伴随矩阵

永远不要把矩阵放在分母上

反对称矩阵主对角线元素全为0，对称矩阵没有要求

( )^T=( )

（方程组换矩阵）

AB位置不能改变

AB=0.推不出A=0或B=0（0为0矩阵）

AB=AC,A≠0，无法推出A=0或B=0

方阵才有主副对角线

矩阵相等的前提是同型矩阵

矩阵与行列式的差别

计算量非常大，能不用就不用

对称行列式与反对称行列式

反对称行列式奇数阶，D=0

范德蒙行列式

对于题目中隐秘的范德蒙行列式

构造后

还会有列的情况

（加边法与三叉型行列式）

加边：不能改变原来行列式的值

三叉型行列式：用副对角线的数将第一列消掉，左上角的数会发生较大变化

在进行三叉型行列式计算时，可能会有分数且未知数处在分母的情况出现，要注意题目是否有未知数=0的条件出现

每行之和相同：将每行元素加在一列上，再提取公因式

将求余子式转换成一个元素乘以代数余子式，即等效为求另一个行列式的值

行列式的计算

降阶（选0多的展）

性质七：如果行列式中有一行（或一列）的所有元素都是常数k，那么该行列式的值等于该常数k乘以它的代数余子式

Tips: 1.先处理第一列，然后第二列，然后第三列…… 2.第一列处理完后，第一行不再参与运算

若某一行有1，可先把1交换到有利位置再进行运算

遇到纯数字行列式，优先考虑转换成上/下三角行列式

D=0， 1.两行对应成比例 2.某一行全为0 3.两行相等

对行成立的性质，对列也成立