【线性代数行列式与矩阵知识点括囊】预习，期末、期中复习指南

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《线性代数》

• 第一章 行列式
  • 二阶与三阶行列式
    • 新运算
      • 二阶行列式
        • aij——i:行标 j:列标
        • 左对角线（主对角线）：左上至右下 右对角线（次对角线）：右上至左下
      • 三阶行列式
        • 对角线法则 沙路法则
  • n阶行列式
    • 排列
      • 由自然数1，2，……，n组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为n级排列（简称为排列）
        • 123，321，213，……——三级排列
    • 逆序
      • 一个大的数排在一个小的数前面就叫逆序；一组排列的逆序数的和叫做逆序数
        • 奇排列——逆序数为奇数
        • 偶排列——逆序数为偶数
        • N级标准排列（自然排列）——逆序数为零
      • 数逆序数：从第一个开始数有几个比它小的
        • 例：N（54123）=7
    • 对换
      • 交换一组排列的两个数——一次对换，奇偶性改变
    • n阶排列式
      • 定义一：按行展开—— 行标取标准排列 列标取标准排列的所有可能，从不同行不同列取出三个元素相乘，符号由列表排列的奇偶性确定（偶排列为正；奇排列为负）
        • （例）
          • （此定义一般用在特殊情况）
        • 某一项按行展开时符号由列标排列的逆序数决定
      • 定义一*：按列展开——与定义一相反
      • 定义一**：既不按行也不按列展开
        • *符号：行标排列的逆序数+列标排列的逆序数
      • 定义二：上/下三角行列式=主对角线元素相乘
      • 定义二*：上/下三角行列式=（符号）副对角线元素相乘（前面符号不为1）
        • 符号：(-1)n(n-1)/2
  • 行列式的性质
    • 转置(D^T)
      • 行与列交换
    • 性质一：D=D^T
    • 性质二：其中两行互换，值变号
      • 推论：行列式两行或两列对应相等，D=0
    • 性质三：某一行都乘以k，等于用k乘以D
      • 推论：行列式某一行有公因子k，k可以提到外面去
    • 性质四：两行对应成比例，则D=0
      • 推论：若某一行等于0，D=0
    • （性质五：是和的那一行分开，其余行不变）
    • *性质六：某一行乘以一个数，加到另一行上去，D不变
  • 行列式按行（列）展开
    • 余子式
      • 在行列式中选定一个元素，将其所在的行和列去掉，使剩下的元素按原来的行、列排列所构成的新行列式，称为Mij（i=行，j=列）
    • 代数余子式
      • 余子式前乘以（-1）^i+j，称为Aij
    • 定理一：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
      • • 推论：异乘变零定理，某行元素与另一行元素的代数余子式的乘积之和=0
    • 拉普拉斯（展开）定理
      • 在n阶行列式中，取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和=D
      • k阶子式：在行列式中取定k行k列，将处于行与列交叉位置的元素提出来形成新的k阶行列式
    • 行列式相乘
      • 定理一：假设D1和D2是两个n阶行列式，则它们的乘积可以表示成一个n阶行列式【同阶行列式才能用此定理】
  • 克莱姆法则（解方程组）
    • 只适用于方程个数=未知数个数
    • 系数行列式：将方程组的系数提出来，形成一个新的行列式（在克莱姆法则中，系数行列式不能=0）
    • 将方程组的解依次替换系数行列式的1、2、3列，所得新行列式与系数行列式的比值即为方程的解
    • 如果齐次方程组系数行列式不等于0，则只有0解
    • 如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式=0
• 第二章 矩阵
  • 矩阵的概念
    • 定义：由m(行数)×n(列数)个数aij(i行j列的元素)排成的m行n列的数表，称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵
    • 实矩阵：矩阵所有元素为实数
    • 复矩阵
    • 行矩阵：只有一行的矩阵
    • 列矩阵：只有一列的矩阵
    • 零矩阵：元素都是0的矩阵，记作0
    • 负矩阵：所有元素都取相反数后
    • n阶方阵：行数=等于
    • 单位阵(方阵)：主对角线是1，其余元素全是0，记作E或I
    • 同型矩阵：两个矩阵行数和列数对应相等
  • 矩阵的运算
    • 加减法
    • 数乘
    • 矩阵相乘
      • 前提条件：第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数
      • 结果矩阵的形状： 结果矩阵行数=第一个矩阵的行数 结果矩阵列数=第二个矩阵的列数
      • （与零矩阵相乘）
      • （与单位阵相乘）
      • 乘法运算规律
        • 结合律：（AB）C=A（BC）
        • 分配律：（A+B）C=AC+BC
        • k(AB)=(kA)B=A(kB)
      • 矩阵幂运算
        • （矩阵幂运算的性质）
        • （矩阵幂运算的性质）
        • （遇到高次幂运算时，先分开，再抵消）
      • 矩阵的转置(A^T)
        • 行与列交换
        • s
          • （For 4) ）
          • （For 4) / 2) ）
  • 特殊矩阵（方阵）
    • 数量矩阵：主对角元素全部相等，其余元素全是0
    • 对角形矩阵：主对角线是a1到an，其余元素全是0
      • 可写成diag(a1,a2,...,an)
    • （三角形矩阵）
    • 对称矩阵与反对称矩阵：与行列式里的定义差不多
      • 反对称矩阵：A^T=-A
  • 逆矩阵
    • 方阵的行列式
      • 定义：将一个方阵中的元素提出来，加上两根竖线变成行列式
      • 性质1：|A^T|=|A|
      • *性质2：|kA|=k^n|A|
      • 性质3：|AB|=|A|*|B|（A、B同阶）
    • 伴随矩阵（A*）
      • 1.求所有元素的代数余子式
      • 2.按行求的代数余子式按列放，构成一个新的矩阵——伴随矩阵
      • 定理1：对任意方阵A，有AA*=A*A=|A|E
        • 推论：|A*|=|A|^n-1
    • 逆矩阵
      • 定义：设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E,则B叫做的A逆矩阵，记作A^-1=B
      • 逆矩阵满足三个基本事实：
        • 未必所有方阵均可逆
        • 如果一个方阵可逆，则其逆矩阵是唯一的
        • 定义
      • 满足可逆的条件：
        • 定理一：A可逆的充要条件是|A|≠0，其可逆时 A^-1=(1/|A|)A*
          • 推论：假设A,B是方阵,若满足AB=E/BA=E，则A可逆，A^-1=B
      • 性质：
        • 如果A可逆，那么A^-1也可逆，并且（A^-1）^-1=A
        • 如果A、B均可逆，则AB也可逆，并且（AB）^-1=B^-1A^-1
        • 若A可逆，则其转置A^T也可逆，并且(A^T)^-1=(A^-1)^T
        • 如果k≠0，那么kA也可逆，并且(kA)^-1=(1/k)A^-1
        • 若A可逆，那么|A^-1|=|A|^-1
        • 若A可逆，A*也可逆，(A*)^-1=(1/|A|)A
    • 矩阵方程
      • 解矩阵方程时的常见错误： 1.提的时候要注意方向 2.一个矩阵不能减一个数，必须减去一个矩阵，将数带上一个单位阵E 3.矩阵永远不要放在分母上 4.先判断可逆再写逆矩阵 5.用初等变化法求逆矩阵（伴随矩阵法麻烦）
  • 分块矩阵
    • 用一气呵成的线直线将原来的矩阵分成一个新的矩阵
    • 标准形
      • （从左上角开始的一串不断的1，其余地方都是0）
    • 分块矩阵的运算
      • （前提条件：要满足矩阵乘法的前提）
    • 分块矩阵求转置
      • 1.把子块视作元素求转置
      • 2.对每个元素求转置
  • 初等变换
    • 本质：对矩阵的一种变换
    • 行
      • 交换两行
      • 用k（k≠0）乘某一行
      • 某一行的l倍加到另一行上去
    • 列
      • 与行差不多
    • 当要变换的矩阵是个方阵时
    • 定理一：任一矩阵都可通过初等变换化为标准形
    • 等价：A经初等变换得到B，则这两个矩阵等价
      • 反身性：A≌A
      • 对称性：A≌BB≌A
      • 传递性：A≌B B≌CA≌C
      • 任何矩阵A都等价于标准形
    • 初等方阵
      • 定义：对E做一次初等变换得到的矩阵
      • 交换两行
        • • 行列式恒等于-1
            • 逆矩阵：E^-1(i,J)=E(i,J)
      • 用k（k≠0）乘某一行
        • • 行列式恒等于k
            • 逆矩阵：E^-1(i(k))=E(I(1/k))
      • 某一行的l倍加到另一行上去
        • • 行列式恒等于1
            • 逆矩阵：E^-1(i,J(e))=E(i,J(-l))
      • 定理：设A是任意一个矩阵，用第二种初等方阵左乘A，相当于对A实施第二种初等行变化
        • 用同种初等方阵右乘A，相当于对A实施第二种初等列变换
      • A可逆的充要条件：
        • A≠0
        • A的标准形为E
        • A=一些初等矩阵的乘积
    • 初等行变换求逆矩阵
      • 对A、E做同样的初等行变换，当A化成E之时，E就化成了A^-1
      • 解题注意事项：
        • 先第一列再第二列 第三列
        • 写整行，对整行进行操作
        • 第一列处理好后，第一行不再参与运算
        • 矩阵与矩阵之间用箭头连接
        • 只进行行变换
        • 不管是否可逆，如左边化不成E，说明A不可逆
  • 矩阵的秩
    • 定义：非零子式的最高阶数，记为r
    • r(0)=0
    • 设Am×n，0≤r(A)≤min{m,n}
      • r(A)=m,取了所有行，称为行满秩
      • r(A)=n,取了所有列，称为列满秩
      • r(A)=min{m,n}，称为满秩
      • r(A)=m＜min{m,n}，称为降秩
    • A为方阵且满秩⇌A可逆
    • 定理一：r(A)=r ⇌ 至少有一个r阶子式不为0，而所有的r+1阶为0
    • 阶梯形矩阵：
      • 若有0行在非0行的下边
      • 自上而下左起第一个非0元素的左边0的个数随行数增加而严格增加
    • *行简化阶梯形：先是个阶梯形矩阵，且非零行的首非零元是1，首非零元所在列的其余元素是0
    • r(A)=非零行的行数
      • 初等变换不改变矩阵的秩
    • 秩的性质
      • r(A)=r(A^T)
      • 任一矩阵乘可逆矩阵它的秩不变
      • 假设有矩阵Am×n，P是m阶可逆方阵，Q是n阶可逆方阵 r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)
• 特征值与特征向量
  • 假设A为n阶方阵，对于一个数β，若存在非零列向量α，使得Aα=βα，那么β就叫一个特征值，α对应于β的特征向量
• 第三章以后
• 首非零元有几个数，其秩就是几
• 行满秩和列满秩统称为满秩
• 只做行变换
• 初等方阵均可逆，其逆矩阵也是初等方阵，其转置也是初等方阵
• 与行列式性质相似
• 矩阵与矩阵之间应用箭头连起来
• 标准形不一定是方的
• （矩阵必须与矩阵相加减，不能只剪一个数）
• 计算
  • 【给表达式验证T可逆，将T*（）=E】
• 伴随矩阵法（计算量大）
• 若一个矩阵的行列式|A|≠0，可称其为非奇异/非退化/满秩
• 按行求，按列放
• 只有方阵才有伴随矩阵
• 永远不要把矩阵放在分母上
• 反对称矩阵主对角线元素全为0，对称矩阵没有要求
• ( )^T=( )
• （方程组换矩阵）
• AB位置不能改变
• • AB=0.推不出A=0或B=0（0为0矩阵）
  • AB=AC,A≠0，无法推出A=0或B=0
• 方阵才有主副对角线
• 矩阵相等的前提是同型矩阵
• 矩阵与行列式的差别
• 计算量非常大，能不用就不用
• 对称行列式与反对称行列式
  • 反对称行列式奇数阶，D=0
• 范德蒙行列式
  • 对于题目中隐秘的范德蒙行列式
    • 构造后
      • 还会有列的情况
• （加边法与三叉型行列式）
  • 加边：不能改变原来行列式的值
  • 三叉型行列式：用副对角线的数将第一列消掉，左上角的数会发生较大变化
  • 在进行三叉型行列式计算时，可能会有分数且未知数处在分母的情况出现，要注意题目是否有未知数=0的条件出现
• • 每行之和相同：将每行元素加在一列上，再提取公因式
• • 将求余子式转换成一个元素乘以代数余子式，即等效为求另一个行列式的值
• 行列式的计算
• 降阶（选0多的展）
• 性质七：如果行列式中有一行（或一列）的所有元素都是常数k，那么该行列式的值等于该常数k乘以它的代数余子式
• Tips: 1.先处理第一列，然后第二列，然后第三列…… 2.第一列处理完后，第一行不再参与运算
• 若某一行有1，可先把1交换到有利位置再进行运算
• 遇到纯数字行列式，优先考虑转换成上/下三角行列式
• D=0， 1.两行对应成比例 2.某一行全为0 3.两行相等
• 对行成立的性质，对列也成立