二次型

这是一篇关于高等代数二次型思维导图，二次型是一个多项式，其中未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2。

二次型

• 研究其化简
  • 矩阵表示
    • 引入矩阵中的合同变换
      • 概念
      • 性质
      • 判断
    • 运用合同变换化为对角矩阵
      • 反回为二项式
  • 多项式表示
    • 引入非退化线性替代
      • 判断
      • 运用
    • 利用配方法
      • 每次配方都会少一个
• 分类
  • 正定
    • 概念
    • 判定（利用性质）
      • 正惯性为n（n元二次型）
      • 标准型系数全为正数（n个）或者是矩阵可化为对角矩阵且角线上的元素全>0
      • 顺序主子式>0
      • 矩阵可化为单位矩阵
    • 必要条件
      • 矩阵对角线上元素>0
      • 矩阵对应行列式>0
  • 负定
    • 概念
    • 判断（效仿正定，后列特殊）
      • 偶数阶顺序主子式>0
      • 奇数阶顺序主子式<0
    • 必要条件（列特殊）
      • 矩阵对应行列式不一定<0
  • 半正定
    • 概念
    • 性质
      • 正惯性为r（r<n)，负惯性为0
      • 顺序主子式≥0
  • 半负定
    • 概念
    • 性质（效仿半正定）
  • 不定
    • 概念
    • 性质（判断）
      • 没什么好方法靠概念就行，不难亲
• 判断合同
• 惯性定理
• 标准型不唯一
• 利用非退化线性替代
• 规范形（具有唯一性）
  • 每项系数为一或者负一
• 标准型
• 会变成只有平方项的二次型
• 利用非退化线性替代