第五章 定积分与反常积分

武忠祥老师强化阶段题型整理，参考老师课程讲解的笔记；在期末复习的时候非常好用~有需要的赶紧收藏吧！

第五章 定积分与反常积分

• 定积分
  • 概念
    • 定义
      • 1.分
      • 2.匀
      • 3.和
      • 4.精
    • 定积分存在的充分条件
      • 1.连续
      • 2.有界且有有限间断点
      • 3.有有限个第一类间断点
    • 定积分存在的必要条件
      • f(x)在(a,b)有界
    • 几何意义
      • f(x)>=0，曲边梯形面积
      • f(x)<=0，负曲边梯形面积
      • f(x)有正有负，正减负
  • 性质
    • 不等式性质
      • f(x)<=g(x)，则f(x)定积分<=g(x)定积分
      • M为最大值，m为最小值，则m(b-a)<=f(x)定积分<=M(b-a)
      • 定积分的绝对值<=绝对值的定积分
    • 中值定理
      • 若连续，则f(x)定积分=f(ε)(b-a) （a<ε<b)
      • 若f(x),g(x)在ab连续，g(x)不变号，则f(x)g(x)定积分=f(ε)*g(x)定积分
  • 积分上限函数
    • 微积分基本定理
    • 奇偶性
  • 定积分的计算
    • 牛顿-莱布尼茨公式
    • 换元积分法
    • 分部积分法
    • 利用奇偶性和周期性
    • 利用已有公式
• 定积分题型
  • 定积分的概念、性质及几何意义
  • 定积分计算
  • 变上限积分函数及其应用
    • 连续性
      • f(x)在［a,b］上可积，则变上限积分在［a,b］连续
    • 可导性
      • f(x)在x=x0以外的点连续时，在x=x0处
        • f(x)连续→F(x)可导，且F'(x0)=f(x0)
        • f(x)可去→可导，且F'(x0)=x趋近于0时f(x)
        • 跳跃→连续但不可导，且F'₋(x0)=f(x0⁻)，F'₊(x0)=f(x0⁺)
    • 奇偶性
      • f(x)为奇，F(x)为偶
      • f(x)为偶，F(x)为奇
  • 积分不等式
    • 变量代换
    • 积分中值定理
    • 变上限积分
    • 柯西积分不等式
    • 定积分不等式性质
• 反常积分
  • 无穷区间上的反常积分
    • 计算
      • 定义
    • 敛散性
      • 比较判别法
        • 大收小收
        • 小散大散
      • 定义
      • P积分
        • p>1收敛
        • p≤1发散
  • 无界函数的反常积分
    • 同无穷区间
    • P积分的敛散性与无穷积分相反
      • p<1收敛
      • p≥1发散
  • 题型
    • 反常积分敛散性
    • 反常积分计算