第五章 定积分与反常积分

武忠祥老师强化阶段题型整理，参考老师课程讲解的笔记；在期末复习的时候非常好用~有需要的赶紧收藏吧！

第五章 定积分与反常积分

定积分

概念

定义

1.分

2.匀

3.和

4.精

定积分存在的充分条件

1.连续

2.有界且有有限间断点

3.有有限个第一类间断点

定积分存在的必要条件

f(x)在(a,b)有界

几何意义

f(x)>=0，曲边梯形面积

f(x)<=0，负曲边梯形面积

f(x)有正有负，正减负

性质

不等式性质

f(x)<=g(x)，则f(x)定积分<=g(x)定积分

M为最大值，m为最小值，则m(b-a)<=f(x)定积分<=M(b-a)

定积分的绝对值<=绝对值的定积分

中值定理

若连续，则f(x)定积分=f(ε)(b-a) （a<ε<b)

若f(x),g(x)在ab连续，g(x)不变号，则f(x)g(x)定积分=f(ε)*g(x)定积分

积分上限函数

微积分基本定理

奇偶性

定积分的计算

牛顿-莱布尼茨公式

换元积分法

分部积分法

利用奇偶性和周期性

利用已有公式

定积分题型

定积分的概念、性质及几何意义

定积分计算

变上限积分函数及其应用

连续性

f(x)在［a,b］上可积，则变上限积分在［a,b］连续

可导性

f(x)在x=x0以外的点连续时，在x=x0处

f(x)连续→F(x)可导，且F'(x0)=f(x0)

f(x)可去→可导，且F'(x0)=x趋近于0时f(x)

跳跃→连续但不可导，且F'₋(x0)=f(x0⁻)，F'₊(x0)=f(x0⁺)

奇偶性

f(x)为奇，F(x)为偶

f(x)为偶，F(x)为奇

积分不等式

变量代换

积分中值定理

变上限积分

柯西积分不等式

定积分不等式性质

反常积分

无穷区间上的反常积分

计算

定义

敛散性

比较判别法

大收小收

小散大散

定义

P积分

p>1收敛

p≤1发散

无界函数的反常积分

同无穷区间

P积分的敛散性与无穷积分相反

p<1收敛

p≥1发散

题型

反常积分敛散性

反常积分计算