第八章 多元函数微分学

武忠祥老师强化阶段题型整理，参考老师课程讲解的笔记；在期末复习的时候非常好用~有需要的赶紧收藏吧！

第八章 多元函数微分学

• 多元函数的基本概念
  • 重极限
    • 对应函数极限
      • 局部有界性
      • 保号性
      • 有理运算
      • 极限与无穷小的关系
      • 夹逼性
    • 求简单重极限
      • 1.取绝对值
      • 2.夹逼
    • 证明重极限不存在
      • 沿两种不同路径极限不同（通常取过点（x0,y0）的直线）
  • 多元函数的连续性
    • 同一元函数连续
      • 无间断点分类
      • 多元连续函数的和差积商仍为连续函数
      • 多元连续函数的复合函数也是连续函数
      • 多元初等函数在其定义区域内连续
      • 最大值定理
      • 介值定理
    • 判断连续性
      • 同一元方法
  • 偏导数
    • 定义
      • 本质就是一元函数
    • 几何意义
      • 数二仅了解
    • 高阶偏导数
      • 偏导连续
  • 全微分
    • 定义
      • 四条等价，f'x(x0,y0)=A，f'y(x0,y0)=B
    • 存在的必要条件
      • 偏导存在
    • 存在的充分条件
      • 偏导连续
    • 可微性判定
      • 1.偏导是否都存在
      • 2.微分定义是否为0
  • 连续、可偏导及可微之间的关系
• 多元函数的微分法
  • 复合函数微分法
    • 定理
    • 全微分形式的不变性
  • 隐函数微分法
    • y=y(x)
    • z=(x,y)
  • 解题方法
    • 求偏导
    • 公式
    • 微分形式不变性（两边同求微分）
• 多元函数的极值与最值
  • 无条件极值
    • 必要条件
      • 偏导为0
    • 充分条件
      • 二阶偏导存在
        • AC-B²>0，则为极值点
          • A>0极小
          • A<0极大
        • AC-B²=0，无法判断
        • AC-B²<0，不为极值点
    • 求解步骤
      • 1.求出驻点
      • 2.利用充分条件判断是否为极值点
  • 条件极值及拉格朗日乘数法
    • 1.构造拉格朗日函数
    • 2.求偏导，构造方程组
    • 可推广至n元函数在m个约束条件下的极值问题
  • 最大最小值
    • 求连续函数有界区域内最大最小值
      • 1.求区域内部可能极值点
      • 2.求区域边界最大最小值
      • 3.比较
    • 应用题
      • 1.建立目标函数
      • 2.同上
• 常考题型的方法与技巧
  • 讨论连续性，可导性，可微性
  • 求一点处的偏导数与全微分
    • 分界点：定义
    • 先代后求
  • 求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分
  • 含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分
  • 隐函数的偏导数与全微分