概率论的基本概念

概率论与数理统计第一章，主要包含随机现象与随机试验、 随机事件的关系、频率与概率、条件概率、 独立性等。

随机事件与概率

• 随机现象与随机试验
  • 随机试验
    • 特点
      • 可重复性：可以在相同条件下重复进行
      • 可预知性:每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果
      • 不确定性:进行一次实验前不能确定哪一个结果会出现
  • 样本空间，随机事件
    • 样本空间:随机试验E的所有可能结果，记作S
    • 样本点:样本空间S的元素，即E的每个结果，记作ω
    • 随机事件:样本空间S的子集，必然事件S，不可能事件ω
• 随机事件的关系
  • 随机事件的关系
    • 包含关系
    • 并（和）关系 ⋃
      • n个事件的并事件
    • 交（积）关系 ⋂
      • n个事件的交事件
    • 差关系 A-B
    • 互不相容事件(互斥事件) =ØAB
    • 互逆事件(对立事件）
  • 随机事件的运算
    • 交换律
      • A⋃B=B⋃A
      • A⋂B=B⋂A
    • 结合律
      • AU(BUC)=(AUB)UC
      • A⋂(B⋂C)=(A⋂B)⋂C
    • 分配律
      • AU(B⋂C)=(AUB)⋂(AUC)
      • A⋂(BUC)=(A⋂B)U(A⋂C)
    • 德摩根律
      • 非(P 且 Q) = (非 P) 或 (非 Q)
      • 非(P 或 Q) = (非 P) 且 (非 Q)
• 频率与概率
  • 频率
    • 定义：在相同条件下，进行了n次试验，在这n次实验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nA/n称为事件A发生的频率，记作fn(A)
    • 性质：
      • 非负性：0≤fn(A)≤1
      • 归一性：fn(S)=1
      • 有限可加性：若A1,A2,¼An是两两互不相容的事件，则fn(A1UA2U¼UAk)=fn(A1)+fn(A2)+¼+fn(Ak)，即有限个两两互不相容事件的和事件的概率，等于每个事件概率的和。
  • 概率
    • 定义：设E是随机试验，S是他的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。
    • 性质
      • 非负性：对于每一个事件A，都有P(A)≥0
      • 规范性：对于必然事件S,有P(S)=1
      • 可列可加性:设A1,A2,...是两两互不相容事件，即对于AiAj=Æ,i¹j,i,j=1,2,....有P(A1UA2U...)=P(A1)+P(A2)+...
    • 重要性质
      • (i) P(Æ)=O
      • (ii)(有限可加性)A1,A2,...An是两两互不相容事件，则有P(A1UA2U...UAn)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)
      • (iii) 设A,B是两个事情，若AÌB,则有 P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)³P(A)
      • (iV) 对于任一事件A,P(A)£1
      • (v) 对于任意事件A，有P(A)逆=1-P(A)
      • (Vi) 对于任意两件事A,B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
• 等可能概型(古典概型)
  • 特点
    • 有限性:试验的样本空间只包含有限个元素
    • 等可能性:试验中每个基本事件发生的可能性相同
  • a
• 条件概率
  • 三个条件
    • 非负性：对于每一事件B，有P(B|A)≥0
    • 规范性：对于必然事件S，有P(S|A)=1
  • 乘法定理
    • 设P(A)>0,则有P(AB)=P(B|A)P(A) {乘法公式}
    • 设A,B,C,为事件，且P(AB)>0,则有P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)
  • 全概率公式和贝叶斯公示
    • 全概率公式
      • 定义;设S为试验E的样本空间，B1B2…,Bn为E的一组事件，若 (i) BiBj=Ø,i≠j,i,j=1,2,...n (ii) B1UB2U··UBn=S.则称B1，B2，.，Bn，为样本空间S的一 划分 若B1，B2，…，Bn.是样本空间的划分那么，对每次试验，事件B1B2,...,Bn,中必有一个且仅有一个发生.
    • 贝叶斯公式
• 独立性
  • 定理1: 设A,B是两件事，且P(A)>0，若A,B相互独立，则P(B|A)=P(B)
  • 定理2：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与B的对立，A的对立与B，A的对立与B的对立
  • 定义：设A,B,C是三个时间，如果满足等式
    • P(AB)=P(A)P(B)
    • P(BC)=P(B)P(C)
    • P(AC)=P(A)P(C)
    • P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
  • 推论
    • 若事件A1,A2,....An（n≥2）互相独立则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的
    • 若n个事件A1,A2,....An(n≥2)相互独立，将A1,A2,...An中任意个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立.
• • 则称事件A,B,C相互独立
• 简称：试验E