导图社区 自动控制原理思维导图
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自动控制原理思维导图
适用于胡寿松自动控制原理第七版，本人一志愿院校北京科技大学，希望对大家备考有所帮助。
编辑于2024-04-10 23:22:31- 自控
- 自动控制原理
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自动控制原理
自动控制的一般概念
线性系统满足
1）齐次性
2）叠加性
对控制系统的基本要求
稳
稳定性
稳定性由系统结构和参数决定，与外界因素无关
准
对系统动态性能的要求
快
对系统稳态性能的要求
典型外作用
阶跃函数
阶跃响应可作为评价系统动态性能指标的依据
斜坡函数
脉冲函数
传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)
正弦函数
频率响应：系统在正弦函数作用下的响应
实际控制系统出题的考法
系统的被控对象和别控变量
被控对象：被控制的生产设备或过程（物理实体）
加热炉、锅炉、水槽、热交换器、反应釜、精馏塔
被控变量：物理变量
绘制系统方框图
注意在前向的最后不要落下被控对象
简述系统工作原理
三段论
励磁电流if的存在是发电机正常工作的前提 若不计饱和，Ug和if近似成正比
先说这是一个什么控制系统（如闭环控制系统），说明偏差信号如何产生，接着说明偏差信号控制系统的过程（前向通路上的），从而使被控量（要具体说明）达到给定值。
当被控量偏低时，······，从而使系统被控量达到给定值
当被控量偏高时，······，从而使系统被控量达到给定值。此时偏差为0，系统被控量保持不变
控制系统的数学模型
概述
时域
状态方程
差分方程
微分方程
复域
传递函数
结构图
信号流图
频域
频域特性
复域数学模型
拉氏变换
基本变换（常用的）
拉氏变换的性质
线性性质
微分定理
非零初始条件时使用
积分定理
位移定理
初值定理
题目给时间响应曲线的初始斜率，要用初值定理
终值定理
相似定理
卷积定理
拉氏反变换
关键思想
因式分解
方法
待定系数法
留数法
遇到重根要求导
传递函数
定义
在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比
传递函数只与系统有关，与输入量的形式无关
传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)
零极点对输出的影响
极点
极点是微分方程的特征根
决定了系统自由运动的模态
微分方程的特征根为λ1,λ2,...,λn且无重根，则把函数称为该微分方程所描述运动的模态
可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态
零点
不形成自由运动的模态
影响各模态在相应中所占的比重
影响响应曲线的形状
标准型
首一标准型
K*(或Kg,Kr)：根轨迹增益
尾一标准型
K：开环增益
首一标准型常用于根轨迹、时域分析； 尾一标准型常用于频域分析
K与K*的关系
闭环传递函数（单位负反馈）
（1+开环）分之前向
注意
给闭环传函要会反解开环传函
闭环系统的误差传递函数
单位负反馈
结构图
结构图化简
引逆比顺×G
遵循原则
引出点靠近引出点，比较点靠近比较点
化简前后，变量关系不能发生改变
交换引出点和比较点（一般不用）时，要注意变量关系不能发生改变
信号流图
微分方程→信号流图
先将微分方程通过拉氏变换化为传递函数
对系统每个变量指定一个节点
按照系统中的因果关系，从左到右排列
用标明支路增益的支路，根据数学方程式将各节点变量正确连接
结构图→信号流图
输入量、输出量、比较点、引出点处理为节点
比较点在前，引出点在后：处理为1个节点
比较点在后，引出点在前：处理为2个节点
允许冗余，不合并也可以
传递函数写在线上
梅森增益公式
公式
使用步骤
查独立回路个数
查两两互不接触的回路个数
查前向通道条数
求系统传函
注意事项
容易出现互不接触回路的结构图类型
左右距离较远的回路
大回路套小回路
建模
电气网络
无源网络
基本公式
基本定理
KCL方程
流入=流出
KVL方程
压升=压降
电路元件的复阻抗法
电容等效为阻抗
电感等效为阻抗
电压之比等于复阻抗之比是有前提的
前提是电流相等
可以使用Y形连接和▲连接间的相互转换
网孔电流法
做题一般步骤
①看有几个网孔，一般有几个网孔就列几个方程
②标电流，考试时要把图画出来
③观察，选择好替换掉的中间变量
④消去中间变量，化简整理
有源网络
基本原理
虚短
u+=u-
虚断
i+=i-=0
思想
遇到多个运放串联，挑简单的先化简
机械系统
牛顿第二定律
F=ma
a=d^2x(t)/dt^2，即位移对时间求二阶导
弹簧的弹性力
F=kx
阻尼器的粘性摩擦力
F=f·v
v：速度，即位移的导数
f：粘性摩擦系数
注意
在分析竖直的系统时，无需考虑重力，因为在初始平衡状态下，重力已经被抵消了
主要考察题型
电气或机械系统建模求解传递函数
根据系统结构图求传函
梅森公式
注意回路之间的接触
结构图化简
引逆比顺×G
遵循原则
引出点靠近引出点，比较点靠近比较点
化简前后，变量关系不能发生改变
交换引出点和比较点（一般不用）时，要注意变量关系不能发生改变
信号流图
根据给定系统微分方程绘制结构图并求解传函
步骤
①对微分方程进行拉氏变换
②在复域下画结构图
注意事项
遇到中间变量“消失”的情况，需要向前找变量替代回这个消失的变量
考试时先在草稿纸上画个草图，卷面画的好看点儿
绘制电气网络结构图的万能方法
①每个支路标电流，每个元件标电压
②写出每个元件的电压、电流方程
③写电压、电流关系（体现在节点上）
线性系统的时域分析法
解题一般步骤
①求系统开环传函，定系统型别v和开环增益K
②求系统闭环传函、特征方程D(s)
③算性能指标时，和标准二阶进行对比，得到阻尼比和wn。高阶需要降阶处理
常考题型
等幅振荡↔系统有一对共轭纯虚根↔劳斯表有全零行
绘制系统单位阶跃响应曲线
求闭环传函或c(t)
确定稳态值、性能指标
注意初始斜率是0
已知系统微分方程或传递函数，求系统响应
零初始条件
直接求输出的拉氏表达式，经拉氏反变换，就是零初始条件下的响应
非零初始条件
代入初始条件，直接求输出的拉氏表达式，经拉氏反变换，就是非零初始条件下的响应
已知系统响应求传递函数
零初始条件
判断零或非零初始条件
题目说了零初始条件就是零初始条件
脉冲信号作为系统输入，默认零初始条件
若系统为标准二阶系统，计算输出及其各阶导是否为0
直接求输出的拉氏表达式，再根据输入信号求闭环传函
非零初始条件
对响应进行拉氏变换，配凑出有初始条件的拉氏变换表达式，再对其进行拉氏反变换，求出c(t)与r(t)的关系，再拉氏变换即可得到传递函数
研究某些参数变化系统性能的变化（没具体说明时的做法）
动态性能
超调量
上升时间
调节时间
稳态性能
计算在单位阶跃、斜坡、加速度信号下的稳态误差
系统时间响应的性能指标
典型输入信号
单位阶跃函数
单位斜坡函数
单位加速度函数
单位脉冲函数
正弦函数
三种常见响应的关系
单位阶跃响应求导得到脉冲响应
单位斜坡响应求导得到单位阶跃响应
动态过程与稳态过程
动态过程
衰减
发散
等幅振荡
动态过程必须是衰减（收敛）的 也就是系统必须是稳定的
响应速度、阻尼情况通过动态性能描述
稳态过程
动态性能与稳态性能
动态性能
上升时间tr
峰值时间tp
评价系统的响应速度
超调量σ%
评价系统的阻尼程度，也就是波动程度
调节时间ts
评价响应速度和阻尼程度的综合指标
稳态性能
稳态误差
一阶系统的时域响应
数学模型
微分方程
传递函数
一阶系统对典型信号的输出响应
单位阶跃响应
动态性能指标
tr=2.20T
超调量、调节时间不存在
单位脉冲响应
动态性能指标
单位斜坡响应
初始状态下，输入与输出的误差最大
单位加速度响应
跟踪误差
一阶系统无法实现对单位加速度输入函数的跟踪
如何改善一阶系统
分析：ts=3T。T越小，过渡过程越快
选择元器件
引入反馈
减小时间常数
二阶系统的时域响应
数学模型
wn：自然频率（无阻尼自然震荡频率）
计算wn和ζ时，特别注意要从特征式中确定wn，不是在闭环传函的分子上确定wn
ξ：阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的输出响应
单位阶跃响应
二阶系统 闭环极点分布
欠阻尼二阶系统
阻尼比0<ζ<1
零初始条件下的单位阶跃响应：
特征方程的根
式中为欠阻尼状态，若为过阻尼则改为根号下ζ^2-1
系统特征参量
衰减系数：
阻尼振荡频率：
阻尼角：
从负实轴开始，沿顺时针方向画
实部：
虚部：
动态性能指标的计算
注意
闭环传函带有零点，公式用不了，需要用定义计算
也可用带零点的性能指标计算公式
单位阶跃输入下的性能指标计算公式
定义不好求时，也会直接用不带零点的公式去进行计算，具体需要参考往年真题
上升时间
计算公式：
峰值时间
定义：c(tp)=c(t)max
计算公式：
超调量
定义：
计算公式：
超调量仅与阻尼比有关 与自然频率无关
阻尼比↑→σ%↓
常见ζ与σ%关系
结论：阻尼角β越大，阻尼比ζ越小，超调量σ%越大
调节时间
定义：
计算公式：
以目标院校参考教材为准
闭环极点离虚轴越远→ts越短
主要由自然频率决定
结论
附加闭环零点
系统阻尼减小（超调量增大）
峰值时间减小
附加闭环极点
系统阻尼增大（超调量减小）
峰值时间增大
同时添加闭环零点闭环极点
距离虚轴近的零点或极点对系统影响较大
非主导极点对系统的影响
减小超调量
增大峰值时间
增大调节时间
题干中说系统等幅振荡/持续震荡/自由震荡/周期震荡时， 一定有根在虚轴上
step1：令s=jw代入D(s)=0中
step2：令实部虚部为0，计算参数
临界阻尼二阶系统
阻尼比ζ=1
需要采用临界阻尼系统的情况
不允许超调，又希望响应速度快
例如：指示仪表系统、记录仪表系统
过阻尼二阶系统
阻尼比ζ>1
调节时间的计算
两个闭环极点相距五倍以上时
近似为一阶
两闭环极点距离较近时
按照定义计算
需要采用过阻尼系统的情况
低增益、大惯性的温度控制系统
某些高阶系统的时间响应可以用过阻尼二阶系统的时间响应近似
单位脉冲响应
响应曲线从0到tp1的面积等于1+超调量
拉氏变换能得到系统的传递函数
可以由单位阶跃响应求导得到
单位斜坡响应
单位斜坡输入，ζ变小会导致系统动态性能恶化
二阶系统性能的改善
比例-微分控制
系统框图
改善原理
比例-微分控制是一种早期控制，可在出现位置误差前，提前产生修正作用，从而达到改善系统性能的目的。
微分部分相当于增大了系统的阻尼，减小系统超调，
动态性能指标分析
闭环传函
PD控制阻尼比：
单位阶跃输入
式中
式中
对系统性能的影响
PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点
增大系统阻尼，使阶跃响应的超调量下降，调节时间缩短
零点出现，加快系统响应速度，tr减小，tp提前，又“削弱了”阻尼作用
不影响常值稳态误差及系统的自然频率
由于PD控制系统允许较高的开环增益，在保证一定动态性能的条件下，可以减小稳态误差，提高稳态性能。
不适用：系统输入端噪声较强 原因：微分部分对噪声，特别是高频噪声有放大作用
测速反馈控制
系统框图
改善原理
输出量的导数同样可以用来改善系统的性能。 通过将输出的速度信号反馈到系统输人端，并与误差信号比较， 其效果与比例-微分控制相似，可以增大系统阻尼，改善系统动态性能
动态性能指标分析
闭环传函：
开环增益：
测速反馈控制阻尼比：
对系统性能的影响
测速反馈会降低系统开环增益，从而增大系统在斜坡输入时的稳态误差
不影响系统的自然频率，可以增加系统的阻尼比
阻尼比增大，震荡和超调量减小，平稳性上升
无零点，输出平稳性优于PD控制
设计测速反馈控制系统
增大原系统开环增益，以弥补稳态误差的损失
适当选择测速反馈系数Kt，使阻尼比为0.4~0.8，从而满足动态性能指标
比例-微分控制与测速反馈控制的比较
实际控制系统需要考虑系统的具体组成、作用在系统上噪声的大小及频率、系统的线性范围和饱和程度等。
PD控制使响应时间提前；测速反馈对超调量影响更明显
附加阻尼来源
PD控制
阻尼作用产生于系统产生于系统的输入端误差信号的速度
测速反馈控制
阻尼作用来源于系统输出端响应的速度
对于给定开关增益和指令输入速度，测速反馈控制稳态误差值较大
使用环境
PD控制
PD控制对噪声有明显的放大作用，因此，当系统输入端噪声信号严重时，不宜选用PD控制。微分器输入信号为误差信号，能量水平低，需要相当大的放大作用，为不明显恶化信噪比，要求选用高质量放大器。
测速反馈控制
对系统输入端噪声有滤波作用。同时，测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛
对开环增益和自然频率的影响
PD控制
对系统的开环增益和自然频率均无影响
测速反馈控制
虽不影响自然频率，但却会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。
对动态性能的要求
PD控制
相当于在系统中加人实零点，可以加快上升时间。
测速反馈控制
在相同阻尼比的条件下，超调量会更大
高阶系统的时域响应
三阶系统的单位阶跃响应
高阶系统的单位阶跃响应
对于稳定的高阶系统，闭环极点负实部的绝对值越大，其对应的响应分量衰减得越迅速;反之，则衰减缓慢。
系统时间响应的类型虽然取决于闭环极点的性质和大小，然而时间响应的形状却与闭环零点有关。
高阶系统闭环主导极点 及其动态性能分析
主导极点
定义
如果在所有的闭环极点中，距虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其他闭环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢，在系统的时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点就称为闭环主导极点。
注意
闭环主导极点可以是实数极点，也可以是复数极点，或者是它们的组合。
除闭环主导极点外，所有其他闭环极点由于其对应的响应分量随时间的推移迅速衰减，对系统的时间响应过程影响甚微，因而统称为非主导极点。
接近虚轴，又不十分接近闭环零点闭环零点的闭环极点，才可能成为主导极点
输入信号极点不能作为系统主导极点
主导极点法
采用主导极点代替系统全部闭环极点来估算系统性能指标的方法
具体实施
化首一型
留取闭环主导极点
略去不十分接近原点的偶极子
略去非主导极点，略去比主导极点距离虚轴远3倍及以上的闭环零点
做题时，二点几倍也可以，总不能不做题吧
注意
降阶前后闭环增益保持不变，或者说是保留各个系数
偶极子
定义
位置非常接近的闭环零、极点
经验法则
如果闭环零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级 则这一对闭环零极点构成偶极子
对系统产生的影响
不非常接近坐标原点时，对系统影响小
接近坐标原点时，需要考虑其对系统动态性能产生的影响
不影响主导极点的地位
添加偶极子的作用
偶极子需要接近虚轴才能起作用
提高系统的开环增益
例如右侧传函可将 开环增益提高十倍
闭环零极点对消
若闭环零、极点彼此接近，则它们对系统响应速度的影响会相互削弱。
闭环零点影响
减小峰值时间
系统响应速度加快
超调量σ%增大
表明闭环零点会减小系统阻尼，并且这种作用将随闭环零点接近虚轴而加剧。 因此，配置闭环零点时，要折中考虑闭环零点对系统响应速度和阻尼程度的影响。
闭环非主导极点影响
增大峰值时间
系统响应速度变缓
超调量σ%减小
这表明闭环非主导极点可以增大系统阻尼 且这种作用将随闭环极点接近虚轴而加剧。
系统具有一对闭环共轭主导极点
在控制工程实践中，通常要求控制系统既具有较快的响应速度，又具有一定的阻尼程度，此外，还要求减少死区、间隙和库仑摩擦等非线性因素对系统性能的影响，因此高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共轭主导极点。
线性系统的稳定性分析
基本概念
系统在扰动消失后，由初始状态偏差恢复到原平衡状态的性能
大范围稳定的系统
不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态
小范围稳定的系统
如果系统受到有界扰动作用后，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态否则就不能恢复到初始平衡状态
李雅普诺夫稳定理论下的稳定性
若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡工作点)，则称系统渐近稳定，简称稳定； 反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。
充要条件
闭环系统特征方程的所有根均具有负实部； 或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面。
稳定判据
线性系统的特征方程
即：闭环传函分母=0
线性系统稳定必要条件：特征方程各项系数均为正
特征方程缺项则系统一定不稳定
劳斯稳定判据
稳定充要条件是劳斯表中第一列各值为正。 如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统就不稳定。 第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程D(s)的正实部根的数目
特殊地：对于一、二阶系统，D(s)所有系数为正，系统稳定 对于三阶系统，所有系数为正，且a1a2>a0a3，系统稳定
常规做题步骤
①写闭环特征方程
②列写劳斯表
劳斯稳定判据为表格形式。劳斯表的前两行由系统特征方程的系数直接构成。劳斯表中的第一行，由特征方程的第一，三，五，···项系数组成；第二行，由第二，四，六，···项系数组成。劳斯表中以后各行的数值，需按表 3-4 所示逐行计算,凡在运算过程中出现的空位,均置以零,这种过程一直进行到第n行为止，第n+1行仅第一列有值，且正好等于特征方程最后一项系数an。表中系数排列呈上三角形。
③判稳
劳斯判据的特殊情况
①某行第一项为0，其余不为0或不全为0
②出现全0行
针对特殊情况的处理方法
①用一个很小的正数ε(ε→0)代替0，继续完成劳斯表的计算
②以全零行的上面一行作为系数，构造辅助方程， 对辅助方程求导，用所得导数方程系数取代全零行。
1）全零行→临界稳定、等幅振荡、特征方程有纯虚根
2）全零行一般出现在s的奇数次幂
3）辅助方程的根也是原方程特征根的一部分。 辅助方程一般为偶次方程，它的根成对出现，由绝对值相同、符号相反的根组成。
4）求解辅助方程可以求出系统不稳定的根
劳斯稳定判据的应用
总述
应用劳斯判据可以确定系统的可调参数的范围对其稳定性的影响，包括使系统稳定的参数范围或确定系统特征根全部位于s=-a垂线之左的参数取值范围
劳斯判据只能确定系统的特征根是否全部位于s左半平面，不能表明特征根相对于虚轴的距离
确定某个参数取值范围
结合稳态误差出题（求稳先判稳），求满足ess要求的参数的范围，需要将劳斯判据和稳态误差结果取交集
确定某些参数间的相互关系
一般是让绘制两个参数满足某种关系时，系统稳定的区域
保证系统稳定并且闭环极点远离虚轴
根全部位于s=a左侧
令s=s'+a代入
技巧：题目说s=-1左侧，就让s+1=0=s'，从而s=s'-1代入
赫尔维茨稳定判据
稳定充要条件：由系统特征方程各项系数构成的主行列式 及其顺序主子式Δi (i=1, 2, ···，n-1)全为正。
零极点对消判别系统稳定性
闭环传函的闭环零极点可以直接对消
开环传函的闭环零极点不可直接对消
具体地说，前向极点与反馈零点不可对消
方法
计算闭环传函
令分母=0
观察是否有位于右半平面的根
线性系统的稳态误差计算
求稳先判稳
只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义； 对于不稳定的系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性。
误差的定义
典型系统框图：
在系统输入端定义的误差
E(s)=R(s)-H(s)C(s)
E(s)为误差信号，简称误差（也称偏差）
在系统输出端定义的误差
系统输出量的希望值与实际值之差
e(t)=r(t)-c(t)
输入端误差在实际系统中可以量测，具有一定的物理意义； 输出端误差在系统性能指标的提法中经常使用，但在实际系统中无法量测, 一般只有数学意义。
R'(s)：输出量的希望值
E'(s)：输出端定义的非单位反馈系统的误差
E'(s)=E(s)/H(s)
特别地，对于单位反馈控制系统，输出量的希望值就是R(s)，因而两种误差定义一样
稳态误差
误差的时域表达式
系统误差传递函数
定义
误差信号的稳态分量 常以ess简单表示
系统类型
系统开环传函
K：开环增益
τj和Tj为时间常数
v为开环系统在s平面坐标原点上的极点的重数
分类方法：以v的数值划分
v=0，称为0型系统
v=1，称为1型系统
v=2，称为2型系统
优点
可以根据已知的输入信号形式，迅速判断系统是否存在原理性稳态误差及稳态误差的大小
m、n的大小与系统型别无关，且不影响稳态误差的数值
稳态误差计算（输入端定义）
终值定理
静态误差系数法
只能计算控制输入且无前馈、干扰输入的系统 上述系统只能用终值定理
静态误差系数的计算
数值上=开环增益K
静态位置误差系数Kp
静态速度误差系数Kv
静态加速度误差系数Ka
静差：系统在阶跃输入作用下的稳态误差
速度误差：系统在速度（斜坡）输入作用下，系统稳态输出与输入之间的位置误差
加速度误差：系统在加速度函数输入作用下，系统稳态输出与输入之间的位置误差
扰动作用下的稳态误差
在求扰动下的闭环（误差）传递函数时 令R(s)=0，拎清前向通路
采用终值定理
使用条件：sEn(s)在s右半平面及虚轴上解析
减小或消除稳态误差的措施
①增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益
增大扰动作用点之后系统的前向通道增益不能改变系统对扰动的稳态误差数值
②在系统的前向通道或主反馈通道设置出串联积分环节
③采用串级控制抑制内回路扰动
④采用复合控制方法
复合控制系统是在系统的反馈控制回路中加入前馈通路，组成一个前馈+反馈的系统
动态误差系数法
研究本质
本质上是稳态误差，可以完整地描述稳态误差随时间的变化规律 进行误差分析时，可以研究输入信号几乎为任意时间函数时的系统稳态误差随时间t的变化规律。
动态的含义
完整描述系统稳态误差随时间变化的规律，而不是指误差信号中的瞬态分量随时间变化的情况
动态误差系数
C0：动态位置误差系数
C1：动态速度误差系数
C2：动态加速度误差系数
动态误差系数与静态误差系数的关系
0型系统
C0=1/(1+Kp)
I型系统
C1=1/Kv
II型系统
C2=1/Ka
求解方法
判稳
①闭环传函升幂排列，缺项补0
②使用长除法
③求解动态误差系数，又称广义误差函数
写ess(t)的表达式
线性系统的根轨迹法
根轨迹法的基本概念
概念
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时， 闭环系统特征方程的根在s平面上变化的轨迹
闭环零极点与开环零极点的关系
闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。
对于单位反馈系统，闭环K*=开环K*
闭环零点=开环前向通路传递函数的零点 + 反馈通路传递函数的极点
对于单位反馈系统，闭环零点=开环零点
闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益K*均有关
基本任务
由已知的开环零极点分布、根轨迹增益→找出闭环极点
根轨迹方程（180°根轨迹）
本质：向量方程。即：等号两边模值相等、相角相等
需要将传递函数化为首一型，用于区分绘制0°或者180°根轨迹
模值条件
用于计算某一点处的增益K*的值
直接将极点s=···代入，令|G(s)H(s)|=1
相角条件
用于判断某点是否在根轨迹上
相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件
闭环极点的确定
对于特定K*下的闭环极点，可以采用模值条件
根轨迹绘制的基本法则
m：开环零点数 n：开环极点数
法则1 根轨迹的起点和终点
起于开环极点（包括无限极点），终于开环零点（包括无限零点）
法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性
根轨迹分支数=m(m>n)或者n(n>m)，关于实轴对称
法则3 根轨迹的渐近线
180°根轨迹
n-m条渐近线与实轴的交角、交点为
交角：
交点：
0°根轨迹
交角：
交点：
法则4 根轨迹在实轴上的分布
180°根轨迹
实轴上，右方零极点个数之和为奇数的区域上必是根轨迹
0°根轨迹
实轴上，零极点个数之和为偶数
经验
如果-∞到一个极点之间是实轴上的根轨迹 这段根轨迹大概率是这个极点奔向负无穷形成的
如果-∞到一个零点之间是实轴上的根轨迹 这段根轨迹大概率是有个汇合点，一条奔向零点，另一条奔向无穷远
法则5 根轨迹的分离点与分离角
条根轨迹分支相遇，分离点坐标由右侧方程确定
分离角：
法则6 根轨迹的出射角与入射角
若是重根，需要角度除以重数
出现复数零极点时，需要计算起始角、终止角
180°根轨迹
出射角：
入射角：
0°根轨迹
出射角：
入射角：
法则7 根轨迹与虚轴的交点
方法1
令s=jw
分别令实部、虚部为0
方法2
利用劳斯判据
令第一列含K*的项为0，求K*
利用全零行的上一行构造辅助方程，可得交点坐标（ω）和临界增益
法则8 根之和
零度根轨迹
研究对象
非最小相位系统
相角遵循（0°+2kπ）
来源
非最小相位系统中包含s最高次幂的系数为负的因子
控制系统中含有正反馈内回路
根轨迹方程G(s)H(s)=1
模值条件：
相角条件：
根轨迹绘制法则（与180度根轨迹不同点）
渐近线
交角：
实轴上根轨迹
右侧零极点个数之和为偶数
出射角和入射角
出射角：
入射角：
广义根轨迹
参数根轨迹
定义
以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹
等效开环传函
“等效”的含义仅在闭环极点相同这一点上成立
注意
求等效开环传函，是给特征方程两端同时除以不含参数的项
只给出了根的条件，分0°根轨迹、180°根轨迹两种情况讨论
零度根轨迹
系统性能的分析
附加开环零极点对系统的影响
附加合适的开环零点
附加开环负实数零点（有负实部的共轭零点） 将使系统的根轨迹图发生趋向附加零点方向的变形
有利于提高系统稳定性和阻尼比
附加合适的开环极点
使根轨迹有向右弯曲的倾向
不利于系统稳定，但有利于增加稳态精度
系统性能定性分析
1）稳定性
若闭环极点全位于s平面左半平面，则系统一定稳定。
稳定性与闭环零点无关，仅与闭环极点有关
2）运动形式
若无闭环零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应单调
若闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的
3）超调量
主要与闭环复数主导极点的衰减率有关
衰减率：
也与其他闭环零、极点接近坐标原点的程度有关
4）调节时间
主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值σ1=ζωn
若实数极点距离虚轴最近，并且附近无实数零点 则调节时间主要取决于该实数极点的模值
5）实数零、极点影响
零点
减小系统阻尼
超调量增大
峰值时间提前
极点
增大系统阻尼
超调量减小
峰值时间滞后
作用随其本身接近坐标原点的程度而加强
6）偶极子及其处理
若零极点之间的距离比他们本身的模值小了一个数量级，则构成偶极子
不非常接近坐标原点时，对系统影响小
接近坐标原点时，需要考虑其对系统动态性能产生的影响
7）主导极点
最靠近虚轴且附近无闭环零点的一些闭环极点，对系统影响最大
比主导极点实部大3~6倍以上的其他闭环零极点对系统的影响可忽略
经验总结
绘制根轨迹卷面步骤
注意：有些项没有，无需在卷面呈现
开环极点为__________
开环零点为__________
确定根轨迹的分支数
确定实轴上的根轨迹
实轴上__________区域为根轨迹
确定根轨迹的渐近线
由于n-m= ，故有__________条根轨迹渐近线，
其中σa=__________，φa=[(2k+1)π]/(n-m)=_______。
确定分离点
____________________（注意选择满足要求的分离点）
确定起始角和终止角
确定根轨迹与虚轴交点
将s=jω代入特征方程，可得实部方程和虚部方程为__________
求得k=__________；ω=__________
绘制根轨迹如下图所示：
根轨迹为圆
两个有限极点和一个有限零点组成的开环系统，有限零点不位于两个极点之间，形成的根轨迹是以零点为圆心，零点到分离点的距离为半径的一个圆或者圆的部分
证明过程
令s=α+jβ，代入闭环特征方程
整理为实部+j虚部=0
分别令实部虚部为0，得到一个关于α和β的圆的方程
若系统开环传函为
圆心位于零点
半径为
利用根轨迹分析系统性能并计算性能指标
分析性能
稳态性能
稳定性
稳态误差
动态性能
分析过渡过程形式 单位阶跃响应是单调递增or衰减振荡or等幅振荡
计算性能指标
稳态误差
上升时间
调节时间
超调量
关于根轨迹求参数范围问题
关于根轨迹题目的运算问题
①给定阻尼比，求K值（或者K*值）和其他闭环极点（根）
解决方案
写出欠阻尼的直角坐标公式
代入阻尼比
设出第三个根（考试一般是解三阶方程）
②给定λ3，求λ1，λ2和相应的K值
解决方案
把第三个根代入特征方程，求得此刻K*值
考虑用长除法求解剩下的2阶特征多项式
③给定K*（或者K），求λ1，λ2，λ3并估算系统动态性能指标
解决方案
考虑使用试根法，将当前K*值下的根设出来
估算系统动态性能指标
涉及根的运算时，要注意根之和法则的运用
关于根轨迹中，特征根、阻尼比和系统阶跃响应的对应关系
不相等的负实根，过阻尼，系统阶跃响应单调上升收敛
负的重实根，临界阻尼，系统阶跃响应单调上升收敛
实部为负的共轭负根，欠阻尼，系统阶跃响应衰减振荡
纯虚根，无阻尼，系统阶跃响应等幅振荡
线性系统的频域分析法
注意：用开环频率特性分析闭环系统的性能 传函用尾一型
频率特性
定义
系统的稳态正弦响应与输入正弦信号的复数比
表达形式
指数表达形式：
实部虚部形式：
幅频特性 相频特性
定义谐波输入下，输出响应与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比A(w)为幅频特性，相位之差fai(w)为相频特性
如何求实部虚部相角幅值
分子分母同乘共轭，使分母有理化
幅值就是各环节求幅值乘乘除除
相角是分子角减分母角
注意角的象限
当出现s^2+a^2时，应对ω的范围进行讨论，进而求出正确的相频特性
计算系统稳态响应
求稳态输出
求稳态误差
注意
若题目给出系统开环传函，需要求解闭环传函再计算频率特性
求解稳态输出就求闭环传函，求解稳态误差就求闭环误差传函
求解稳态输出幅值最大时，可以借助谐振峰值和谐振频率
典型环节及其频率特性
比例、积分、微分
惯性环节、一阶微分
振荡环节、二阶微分
延迟环节
输入量经恒定延时后不失真地复现输入量变化的环节称为延迟环节
传递函数：
频率特性：
奈氏图
伯德图
延迟系统
开环幅相特性曲线（Nyquist图）
基本绘制方法
确定起点、终点
若无特殊要求，对起点的实部虚部可以不用求解分析
确定与实轴交点
法一：虚部为0（常用）
法二：相角等于kπ
确定变化范围（象限、单调性）
如何快速确定起点终点
起点
保留分子分母最低次项（带符号）
终点
保留分子分母最高次项（带符号）
卷面步骤
系统开环频率特性：_____________
起点：___________
终点：___________
与实轴交点：________
如果是1个大题或者题目要求求出交点，则加上该内容； 如果是1个小题或者1个大题中的1问，则不用加该内容。
绘制开环幅相特性曲线
经验总结
对于带有纯虚根（s^2+a^2）的幅相曲线绘制
这类曲线会有一个相角的突变
对相频特性分段点的左右极限要进行讨论
对于含参数的传递函数，注意讨论参数的范围
可以使用相频特性讨论系统开环幅相特性曲线起点位于哪个象限
开环增益K变化只会改变系统的幅值，不改变相角， 从而在视觉上让奈氏图像弹簧一样拉伸压缩
K越大，幅值越大
可以运用到奈氏判据判稳，讨论开环增益在什么范围系统稳定
开环对数频率特性曲线（Bode图）
渐进直线方程
当ω小于交接频率时，忽略ω； 当ω大于交接频率时，忽略1。
惯性环节
Bode图的绘制方法
基本绘制方法（课本）
准备工作
将系统分为三个部分
（1）K/s^v or -K/s^v
（2）一阶环节，交接频率为1/T
（3）二阶环节，交接频率为ωn
记ωmin为最小交接频率，称ω<ωmin的频率范围为低频段
L(ω)绘制步骤
（1）将各交接频率标注在半对数坐标图的ω轴上
（2）绘制低频段渐进特性线
根据K/ω^v，斜率为-20v dB/dec
确定点
（3）作ω>ωmin频段渐进特性线
表现为分段折线，在每个交接频率处，斜率变化
φ(ω)绘制方法
取若干频率点，计算各点的相角并标注在对数坐标图中，最后用光滑曲线进行连接
（不推荐用）对于最小相位系统，可以根据斜率变化概略绘制开环对数相频曲线，阶次越小越准确
若有相同交接频率，斜率变化为其代数和
实用绘制方法（考试）
绘制步骤
1）将各交接频率标注在半对数坐标图的ω轴上
2）利用渐进直线方程确定与0dB线相交的频率
3）绘制低频段渐进特性线：斜率为-20vdB/dec
4）作ω≥ωmin频段渐近特性线
卷面步骤
系统开环传递函数为：__________
系统各交接频率及其斜率变化率为：__________
确定系统ωc：__________
确定低频渐近线上的一点：__________
如果题目给出对数坐标或者题目要求求解，则加上该部分；否则不加。
绘制系统开环对数频率特性曲线如下：
伯德图的谐振峰值与修正值
欠阻尼时比0.707大会向外侧凸 比0.707小会向内侧凸
利用Bode图求解系统传递函数
求解步骤
判断是否为最小相位系统
最小相位系统可以根据L(ω)求出传函
非最小相位系统需要结合L(ω)φ(ω)求传递函数
确定系统传递函数的结构形式
根据斜率变化及交接频率，确定结构形式
由给定条件确定传函的参数
渐进直线方程
写方程，代入点，求参数
三角形
根据三角形的底边和高的长度，与斜率建立方程
横坐标是对数分度
方程中只能存在一个未知数
卷面书写
根据对数幅频渐近特性曲线确定系统传递函数如下____________
根据图中数据，确定未知参数____________
综上所述，确定系统传递函数____________
经验总结
斜率变化±40，无修正就写两个惯性环节或两个一阶微分串联，有修正就求阻尼比
Bode图的三频段理论
低频段
第一个交接频率之前
决定了系统的开环增益和型别
反映系统的稳态性能
中频段
穿越0dB的频段
反映闭环系统动态响应的平稳性和快速性（动态性能）
宽度大保证系统有充足的相角裕度 斜率为-20比较理想
提高剪切频率保证系统快速性的要求
高频段
反映系统对高频干扰的抑制能力
高频段幅值越小，对高频干扰的抑制能力越强
经验总结
绘制伯德图先化尾一型
会求并会用渐进直线方程
伯德图五要素：坐标系，渐进直线，斜率，转折频率，剪切频率
频域稳定判据
奈奎斯特稳定判据
Z：闭环极点位于右半平面的个数
P：开环极点位于右半平面的个数
N+：（-1，j0）点左侧负实轴的正穿越次数
N-：（-1，j0）点左侧负实轴的负穿越次数
正穿越指角度变大；负穿越指角度变小
正好穿过（-1, j0）点→临界稳定
考法
常规判稳
要求系统稳定，求开环增益取值范围，联系上面K只影响幅值的理论
联系非线性系统求自激振荡，将负倒描述函数看作移动的(-1,j0)点，进而判断稳定性
对数稳定判据
Z：闭环极点位于右半平面的个数
P：开环极点位于右半平面的个数
N+：（-1，j0）点左侧负实轴的正穿越次数。L(ω)>0时，φ(ω)穿越(2l+1)π的正穿越次数
N-：（-1，j0）点左侧负实轴的负穿越次数。L(ω)>0时，φ(ω)穿越(2l+1)π的负穿越次数
稳定裕度
刻画相对稳定性
幅值裕度
求法
穿越频率ωx（ωg）
幅值裕度h(Kg)
含义
对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统将处于临界稳定状态
相角裕度
求法
剪切频率ωc
相角裕度γ
含义
对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后γ度，则系统将处于临界稳定状态
稳定条件
γ>0
h>1或者h(dB)>0
特殊说明
有多个穿越频率或者剪切频率时， 相角裕度应该在最高的剪切频率上测量 幅值裕度应该在最高的穿越频率上测量
对于最小相位系统，为了确定相对稳定性，必须同时给出这两个量才可判断
稳定裕度无法判断非最小相位系统的稳定性，但延迟环节可以
判稳总结
奈氏判据，对数判据，稳定裕度判稳均使用开环传函
奈氏判据，对数判据，注意补画虚线
对于非最小相位系统，最好使用奈氏判据
不要纠结为什么只用相角裕度判稳，题目怎么问的你就怎么写
求解剪切频率使用定义法或者渐进直线方程
定义法精确，渐进直线方程近似
原则上不影响系统分析结果就都能用，老师出题一般不会搞你心态，不会在这里做文章
给伯德图就可以用渐进直线方程
如果可以又快又准算出剪切频率，就用定义法
频域性能指标与时域性能指标的关系
二阶系统
性能指标
谐振峰值
谐振频率
带宽频率
剪切频率
相角裕度
快速性
正比关系：
平稳性
ζ与γ成正比
ζ与Mr成反比
高阶系统
性能指标
谐振峰值
超调量
调节时间
闭环系统的频域性能指标
带宽频率ωb
系统的带宽
频率范围（0，ωb）
线性系统的校正方法
系统的设计与校正问题
校正
定义
在系统中加入一些其参数可以根据需要改变的机构或装置，使系统整个特性发生改变， 从而满足给定的各项性能指标
注意：校正结果不唯一，只要满足给定要求即可
校正方法
时域校正法
根轨迹校正
频域校正法
分析法（试探法）
带有试探性（配凑）
综合法（期望特性法、希望特性法、参考模型法）
根据给定的性能指标要求确定系统期望的开环特性形状
Bode图低中高频段要求，Gc(s)=G(s)/G0(s)
校正方式
串联校正
串联超前校正
串联滞后校正
串联滞后-超前校正
局部反馈校正
复合校正
按输入补偿
按扰动补偿
PID控制规律
1）每种控制规律对系统的影响 2）传递函数
比例控制规律（P）
传递函数
对系统的影响
优点
提高系统开环增益
减小系统稳态误差，从而提高系统控制精度
缺点
过大可能造成闭环系统的不稳定
比例-微分控制规律（PD）
传递函数
对系统的影响
优点
微分控制规律可以反映输入信号变化趋势，达到提前修正的目的， 从而加快系统响应速度
增加一个开环零点，提高系统的相角裕度，改善了系统的稳定程度
缺点
微分作用对系统噪声非常敏感，故不会单独使用微分器
积分控制规律（I）
传递函数
对系统的影响
优点
可以提高系统的型别，有利于稳态性能的提高
缺点
增大系统的相角滞后，可能造成系统不稳定
比例-积分控制规律（PI）
传递函数
对系统的影响
增加的开环极点可以提高系统型别，改善系统的稳态性能
增加的开环极点会增大增大系统的相角滞后， 但是增加的开环零点会削弱这部分的不利影响
比例-积分-微分控制规律（PID）
时域表达式
传递函数
对系统的影响
兼顾了PI和PD控制器的优点
串联校正
串联超前校正
无源网络
电路图
传递函数
式中
a=(R1+R2)/R2 >1
T=C×R1R2/(R1+R2)
最大超前角频率
最大超前角
伯德图
基本原理
利用超前网络的相角超前特性
对系统的影响
可使开环系统剪切频率增大，使响应速度加快
增大系统相角裕度，提高系统相对稳定性
不影响系统的稳态性能
校正后系统的高频段抬高，导致抗干扰能力有所下降
校正装置的设计
先决条件
期望系统指标必须是频域下的性能指标（即如果给时域指标需要转化到频域）
性能指标
谐振峰值
超调量
调节时间
做题步骤
何时选择
题目要求使用超前校正
期望剪切频率大于原系统剪切频率
需要提供的超前相角小于60度
典型题型
给出稳态误差要求，给出剪切频率及相角裕度要求
给出稳态误差要求，给出相角裕度要求
方法
方法一
①根据稳态误差要求，确定开环增益K0
②利用已确定的开环增益，计算待校正系统的剪切频率、相角裕度
③根据剪切频率ωc''的要求，计算超前网络参数a、T
④验算已校正系统的相角裕度γ''
方法二
①根据稳态误差要求，确定开环增益K0
②利用已确定的开环增益，计算待校正系统的剪切频率、相角裕度
③根据相角裕度的要求，计算超前网络参数a、T
④验算已校正系统的相角裕度γ''
常用数要背诵
串联滞后校正
无源网络
电路图
传递函数
式中
b=R2/(R1+R2) <1
T=C×(R1+R2)
最大滞后角频率
最大滞后角
伯德图
基本原理
利用滞后网络的高频幅值衰减特性，使已校正系统的剪切频率下降，从而使系统获得足够的相角裕度
对系统的影响
提高系统的相角裕度，改善系统的相对稳定性
使系统高频段的增益衰减，提高系统的抗干扰能力
降低系统的快速性
①提高系统开环增益，②减小系统的稳态误差，同时基本保持系统的动态性能不变
校正装置的设计
先决条件
期望系统指标必须是频域下的性能指标（即如果给时域指标需要转化到频域）
性能指标
谐振峰值
超调量
调节时间
做题步骤
何时选择
题目要求使用滞后校正
期望剪切频率小于原系统剪切频率
典型题型
给出稳态误差要求，给出剪切频率及相角裕度要求
给出稳态误差要求，给出相角裕度要求
方法
①根据稳态误差要求，确定开环增益K0
②利用已确定的开环增益，计算待校正系统的相角裕度
③确定新的剪切频率ωc''
④确定b值
⑤求取T值
④验算已校正系统的相角裕度γ''
串联滞后-超前校正
无源网络
伯德图
传递函数
基本原理
滞后部分设置在系统的低频段，用以改善系统的稳态性能
超前部分设置在系统的中频道，用以改善系统的动态性能
复合校正
按输入补偿
按扰动补偿
线性离散系统的分析
离散系统的基本概念
离散系统
定义
控制系统中有信号定义在离散时间上，则称这种系统为离散系统
组成
采样控制系统
数字控制系统
离散系统的特点
易于修改控制规律
提高系统性能
可用一台计算机分时控制多个回路
实现复杂的控制规律
信号的采样与保持
采样
采样过程
实际采样过程
使用采样开关
理想采样过程
使用固定时间间隔的单位脉冲信号
分析系统用这个
数学描述
t=nT时，δ(t-nT)=1
其他t时，δ(t-nT)=0
香农采样定理
如果采样器的输入信号e(t)具有有限带宽，并且有直到ωmax的频率分量， 则使信号e(t)圆满地从采样信号e*(t)中恢复过来的采样周期T，满足下列条件：
或者
采样周期的选取
采样周期与稳定性和动态性能有关
总的来说，变换快，采样周期短
保持
零阶保持器
零阶保持器的特性
低通特性
相角滞后特性
时间滞后特性
tips：一阶或高阶保持器的低通特性较差，相角滞后更大，因而很少采用
z变换理论
z变换
定义
令z=e^(Ts)
方法
级数求和法
根据z变换的定义
部分分式法（常用）
留数法（反演积分法）
单极点
m重极点
基本定理
线性定理
复数位移定理
初值定理
终值定理
实数位移定理
滞后定理
超前定理
z反变换
方法
幂级数法（长除法）
部分分式法
留数法（反演积分法）
注意
优先选择长除法和部分分式法 留数法有时需要进行讨论
离散系统的数学模型
差分方程
定义
n阶后向差分
n阶前向差分
求解方法
迭代法
用于求解有限序列
Z变换法
利用超前定理对差分方程进行z变换（一般情况下）
反解C(z)
对C(z)进行z反变换，求解c(nT)
c(nT)、c(k)是一个说法
可以根据c(nT)求出c*(t)
c*(t)=Σ0到∞c(nT)×δ(t-nT)
脉冲传递函数
定义
零初始条件下，输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比
求法
Z变换
根据差分方程
开环脉冲传递函数
串联环节之间有采样开关
串联环节之间无采样开关
带有零阶保持器
闭环脉冲传递函数
求解注意要点
①列方程组时第一个写输出
②除了第一个表达式带C(s)，其余方程不带
③一定要在实际采样开关处加中间变量，其余不加
注意
在输入端不存在（或等效存在）采样开关时，R(z)不能分离，只能写出Y(z)表达式
离散系统的Mason公式
适用情况
①单回路离散系统（不存在前馈），且前向通道至少存在一个采样开关时
②系统结构图中各环节间都存在（或等效存在）采样开关时
何时用此方法
检验
大题中间的一小问
答题时间不足时
根据系统结构图求解闭环脉冲传递函数
离散系统的稳定性与稳态误差
s域到z域的映射
稳定区域从左半平面映射到单位圆内
离散系统稳定条件
特征多项式D(z)=1+GH(z)=0的所有特征根模值均小于一（|zi|<1,i=1,2,3,...）
特征根均位于单位圆内
稳定性分析
采样开关、零阶保持器、采样周期和放大倍数的增大对系统稳定性是不利的
在系统无高频干扰的情况下
劳斯判据
双线性变换z=(w+1)/(w-1) 将z平面映射到w平面
将其代入，按照前面学的劳斯判据正常做题
朱利判据
闭环特征方程D(z)=a0+a1z+a2z^2+···+anz^n，an>0
朱利表
朱利表只剩三列，则停止列写
稳定条件
D(1)>0
D(-1)
>0，n为偶数
<0，n为奇数
|a0|<|an|，|b0|>|bn-1|，|c0|>|cn-2|，···
判稳示例
稳态误差
求稳先判稳
终值定理法
静态误差系数法
静态位置误差系数
静态速度误差系数
静态加速度误差系数
闭环极点与系统响应
闭环极点在z平面上的位置决定了系统时域响应中瞬态响应各分量的类型
实数极点
位于左半平面时 振荡角频率为π/T
共轭复数极点
振荡角频率
总结
动态响应与闭环极点的分布密切相关
当闭环极点位于z平面左半单位圆的实轴上时， 由于输出衰减脉冲交替信号，故动态过程质量很差
当闭环复极点位于左半单位圆内时， 由于输出是衰减的高频脉冲，故系统动态过程性能欠佳
在设计离散系统时，应把闭环极点配置在z平面的右半单位圆内，且尽量靠近原点
类比s平面的远离虚轴
离散系统的动态性能分析
用定义法求解，小数点保留2~3位
使用长除法展开输出
非线性控制系统分析
非线性控制系统概述
概念
非线性系统是有一个或多个非线性元件的系统
特点
稳定性分析复杂
非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，还与初始条件、外加作用有关
不存在系统是否稳定这一笼统概念
可能存在多个平衡状态
可能存在自激振荡现象
自激振荡、自持振荡、极限环是一个东西
无外界周期变化信号，系统可能自己产生振幅为A、频率为ω的稳定周期运动
自激振荡和临界稳定的区别
临界稳定与初始条件无关 自激振荡与初始条件有关
临界稳定对系统参数变化敏感 自激振荡对系统参数变化不敏感
频率响应发生畸变
非线性系统的频率响应除含有与输入同频率的正弦信号分量（基波分量）， 还含有高次谐波分量
正弦输入信号→非线性系统→含有高次谐波分量的非正弦周期函数
分析方法
线性近似法
适用于工作范围或系统非线性程度不大的系统
分段线性化法
非本质非线性，本质非线性
根据不同的工作特点，以不同的线性模型来分析系统
相平面法
分析系统动态及静态性能的图解方法（绘制相轨迹）
适用于一阶和二阶系统
描述函数法
分析系统是否会产生自激振荡（幅值为A，频率为ω）
适用于任意阶非线性系统
常见非线性特性 及其对系统运动的影响
饱和特性
死区特性
间隙特性
继电特性
变增益特性
相平面法
基本概念
相平面的概念
由系统的某个变量及其导数用于描述系统状态的平面
相轨迹的定义
变量及其导数随时间变化的轨迹
相轨迹性质
斜率
奇点
同时满足右侧条件的点。 →斜率不确定，通过该点相轨迹无数条
运动方向
顺时针
在上半平面方向右移动
在下半平面方向左移动
通过x轴的斜率
90度，垂直通过
相平面分析法的优点
适用于本质非线性
反映初始条件对系统运动轨迹的影响
直观准确地反映出非线性系统的稳定性、平衡状态、稳态精度
相轨迹
相轨迹的绘制
绘制思路
结构图→不同区域对应的微分方程→相轨迹段
根据各个变量之间的关系推导出目标变量的微分方程
开关线
垂直
相轨迹没有损失，存在周期
斜率大于0
发散
斜率小于0
收敛
方程中没有e
直线抛物线渐近线
方程中有常数
让斜率α=0，得到水平渐近线
方程中无常数
该区域相轨迹为一群斜率相等的直线
方程中有e
找奇点（看奇点类型），进而绘制对应的相轨迹
绘制方法
解析法
核心：求取相轨迹方程
步骤
对斜率方程进行积分
求出各自对时间的微分方程，然后将时间t消掉
应用范围
简单的抛物线；斜线；圆；椭圆
等倾线法
基本思想
①确定等倾线
②绘制切线方向场
③从初始条件出发
④逐步绘制相轨迹
令dx导/dx=α，代入斜率方程，写x导关于x和α的方程，即得到等倾线方程
较为适用于等倾线为直线的情况
非线性二阶系统相轨迹分析
a≠0，b≠0
a=0，b≠0
求奇点，求特征方程，画对应相轨迹
a≠0，b=0
a=0，b=0
相轨迹时间的求解
积分法
增量法（基本不用）
适用于时间间隔小，位移量也不大的情况
奇点类型的判断
奇点类型=奇点性质
解析函数法
令x二阶导=x导=0，求x值
奇点（x，0）
解析函数对分别x'和x求导，代入奇点，求解线性化方程的系数
列写线性化方程
根据线性方程写特征方程，求特征根
对应特征根的位置判断奇点类型
增量法
令x二阶导=x导=0，求x值
奇点（x，0）
列写增量的线性二阶方程
a=f对x求偏导，b=f对x导求偏导
Δx二阶导 - bΔx导 - aΔx=0
根据线性方程写特征方程，求特征根
对应特征根的位置判断奇点类型
经验总结
使用增量法列写线性化方程的时候，低阶吸收高阶，平方项直接扔掉
线性系统的相轨迹
相平面分析的应用
结论：α=0为相轨迹的渐近线
渐近线的求法总结
方程中没有e的
有常数的
让斜率α=0，得到水平渐近线
无常数的
该区域相轨迹为一群斜率相等直线
方程组有e的
找奇点
描述函数法
极限环
概念
无外界周期变化信号，系统可能自己产生振幅为A、频率为ω的稳定周期运动
类型
稳定的极限环
不稳定的极限环
半稳定的极限环
描述函数的定义与计算
概念
基本思想：近似
正弦输入信号→非线性系统→一次谐波分量近似=>近似等效频率特性，即描述函数
假设条件
一个非线性环节
非线性环节是时不变的
只考虑其输出中的基波分量
假设非线性特性关于原点对称
定义
输入：x(t)=Asin(ωt)
输出基波：y(t)=Y1sin(ωt+φ1)
计算
周期函数的傅氏级数展开
非线性系统的合并与化简
等效变换前提：r(t)=0
典型结构
r(t)=0
N(A)与G(s)串联，N(A)输入为x(t)、输出为y(t)
单位负反馈
描述函数法的应用条件
典型结构
奇对称→A0=0
线性部分满足低通滤波
并联环节合并
若两个非线性特性输入相同，输出相加减，则得到等效非线性特性
串联环节合并
关键点
前一个非线性环节的输出是后一个非线性环节的输入
消去中间变量
等效非线性环节的形状和后一个非线性特性的形状相似
方法
代数法化简
图解法化简
线性环节合并
特征方程法
特征方程
将不带N的部分当分母除下去
等效结构图
结构图化简至单回路
非线性与线性部分可在单回路内自由移动
经验总结
题目让求自振的幅值和频率→特征方程法
题目让求某个中间环节或输出的幅值→等效结构图
原因：特征方程法可能改变系统输出
使用特征方程法，绘制典型结构不要把c(t)写上去
使用等效结构图法化简时，可以从反馈回路“扯线”，遵循信号一致原则
典型环节的描述函数
①负倒描述函数图象 ②图象中的关键点
一般继电特性
描述函数
y(t)-x(t)图象
理想继电特性
描述函数
负倒描述函数图象
死区继电特性
描述函数
负倒描述函数图象
纯滞环继电特性
描述函数
负倒描述函数图象
饱和特性
描述函数
负倒描述函数图象
有死区的饱和特性
描述函数
负倒描述函数图象
死区特性
描述函数
负倒描述函数图象
间隙特性
描述函数
负倒描述函数图象
变增益特性
描述函数
负倒描述函数图象
描述函数的稳定性分析
闭环系统特征方程
非线性系统判定稳定区域的方法
①在复平面上绘制线性部分的Nyquist曲线
②将负倒描述函数看成移动的(-1, j0)点
③负倒描述函数图象箭头的方向代表A增大的方向，同时为(-1, j0)移动的方向
④利用奈氏判据得到该区域的稳定性
自振点的判别方法
稳定的自振点
沿负倒描述函数箭头方向，由不稳定到稳定的交点
不稳定的自振点
沿负倒描述函数箭头方向，由稳定到不稳定的交点
自振参数求解
前提
系统产生稳定的自振
方法
数形结合法
求解两条曲线的交点，从而得到幅值和频率
代数法
使用特征方程
实部＝实部
虚部=虚部
经验总结
自振振幅A是指非线性环节输入x(t)的幅值，千万别搞错了
奈氏图与负倒描述函数图象有交点，则有ω的正实数解，则系统存在无外作用的周期运动（极限环）→另行分析周期运动的稳定性→稳定的极限环
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