高等数学（数学二）

这张思维导图包含了高等数学（数学二）部分的知识点，学习者可以更直观地看到高等数学各部分之间的关系，从而形成一个更加完整的知识体系。这种视觉化的学习方式有助于加深记忆，提高学习效率，是学习高等数学的宝贵资源。

高等数学

• 函数极限与连续和数列极限
  • 函数
    • 函数
      • 概念
        • 函数
        • 反函数
        • 复合函数
        • 隐函数
      • 性质
        • 四种性质
          • 有界性
          • 单调性
          • 奇偶性
          • 周期性
          • 重要结论
      • 图像
        • 基本初等函数
          • 常数函数
          • 幂函数
          • 指数函数
          • 对数函数
          • 三角函数
            • 三角函数
              • 正弦函数 sinx
              • 余弦函数 cosx
              • 正切函数 tanx
              • 余切函数 cotx
              • 正割函数 secx＝1/cosx
              • 余割函数 cscx＝1/sinx
            • 反三角函数
              • 反正弦函数 arcsinx
              • 反余弦函数 arccosx
              • 反正切函数 arctanx
              • 反余切函数 arccotx
            • 周期性 有界性
          • 定义域 值域 单调性 常用函数 特殊函数值 极限 常用公式 运算法则
        • 初等函数
          • 由基本初等函数经过有限次的四则运算，以及有限次的复合步骤所构成的并且可以由一个式子表示的函数
        • 分段函数
          • 三个重要分段函数
            • 绝对值函数
            • 符号函数
            • 取整函数
    • 函数极限
      • 概念与性质
        • 邻域
          • 邻域
          • 去心邻域
          • 左、右邻域
        • 函数极限
          • 定义
            • ε-δ语言
          • 性质
            • 唯一性
            • 局部有界性
            • 局部保号性
        • 无穷小
          • 定义
          • 性质
            • ①有限个无穷小的和是无穷小 ②有界函数与无穷小的乘积是无穷小 ③有限个无穷小的乘积是无穷小
          • 无穷小的比阶
            • 高阶无穷小
            • 低阶无穷小
            • 同阶无穷小
            • 等价无穷小
              • 常用的等价无穷小
            • k阶无穷小
        • 无穷大
          • 定义
      • 计算
        • 方法
          • 极限四则运算法则
          • 洛必达法则
          • 泰勒公式
          • 无穷小的运算
          • 泰勒公式应用时的展开原则
            • A/B型 “上下同阶”原则
              • 将A、B分别展开到x的阶数相同为止
            • A-B型 “幂次最低”原则
              • 将A、B分别展开到他们系数不想等的x次的最低次幂为止
          • 两个重要极限
          • 夹逼准则
        • 七种未定式的计算
        • 脱帽法
    • 函数连续与间断
      • 连续点
        • 定义
      • 间断点
        • 定义
          • 可去间断点
          • 跳跃间断点
          • 第一类间断点
          • 无穷间断点
          • 振荡间断点
          • 第二类间断点
  • 数列
    • 数列
    • 数列极限
      • 定义
      • 性质
        • 数列发散，其子列发散
        • 唯一性
        • 有界性
        • 保号性
      • 计算
        • 极限四则运算规则
        • 海涅定理（归结原则）
        • 夹逼准则
        • 单调有界准则
        • 子主题
• 一元函数微分学
  • 概念
    • 导数
      • 定义
      • 几何意义
      • 高阶导数
    • 微分
      • 概念
  • 计算
    • 基本求导公式
    • 四则运算
    • 复合函数求导
    • 微分形式不变性
    • 分段函数的导数
    • 反函数的导数
    • 隐函数求导法
    • 参数方程所确定的函数的导数
    • 对数求导法
    • 幂指函数求导法
    • 高阶导数
      • 归纳法
      • 莱布尼茨公式
      • 泰勒展开式
  • 应用
    • 几何应用
      • 极值和单调性
        • 极值定义
          • 极大值
          • 极小值
        • 单调性的判别
        • 一阶可导点是极值点的必要条件
        • 极值的判别
          • 三个充分条件
      • 拐点和凹凸性
        • 凹凸性定义
        • 拐点定义
        • 凹凸性得判别
        • 二阶可导点是拐点的必要条件
        • 拐点的判别
          • 三个充分条件
      • 极值点与拐点的重要结论
      • 渐近线
        • 铅直渐近线
        • 水平渐近线
        • 斜渐近线
      • 最值或取值范围
        • 最值定义
          • 最大值
          • 最小值
        • 闭区间上连续函数的最大值和最小值
        • 开区间内连续函数得最值或取值范围
      • 做函数图像
      • 曲率及曲率半径公式
    • 物理应用
      • 物理应用
      • 相关变化率
    • 中值定理
      • 有界与最值定理
      • 介值定理
      • 平均值定理
      • 零点定理
        • 推广的零点定理
      • 涉及函数
      • 费马定理
      • 罗尔定理
        • 推广的罗尔定理
      • 拉格朗日中值定理
      • 柯西中值定理
      • 泰勒公式
        • 带拉格朗日余项的n阶泰勒公式
        • 带佩亚诺余项的n阶泰勒公式
        • 麦克劳林公式（x＝0）
      • 涉及导数（微分）
      • 积分中值定理
        • 涉及积分
    • 微分等式
      • 零点定理（证明根的存在性）
      • 单调性（证明根的唯一性）
      • 罗尔定理及其推论
      • 实系数奇次方程至少有一个根
      • 方程的根 两曲线的交点
    • 微分不等式
      • 用函数性态（单调性、凹凸性和最值等）证明不等式
      • 用常数变量化证明不等式
      • 用中值定理证明不等式
• 一元函数积分学
  • 概念及性质
    • 不定积分
      • 原函数
      • 不定积分
      • 原函数（不定积分）存在定理
        • 连续函数必有原函数
        • 含有第一类间断点和无穷间断点的函数在包含该间断点区间内没有原函数
    • 定积分
      • 定义
      • 存在定理
        • 定积分存在的充分条件
          • 若f(x)在[a，b]上连续，则该函数定积分存在
          • 若f(x)在[a，b]上单调，则该函数定积分存在
          • 若f(x)在[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则该函数定积分存在
        • 定积分存在定必要条件
          • 可积函数必有界：即若定积分存在则f(x)在[a，b]上必有界
      • 性质
        • 积分的线性性质
        • 积分的可加性
        • 积分的保号性
        • 积分估值定理
        • 积分中值定理
    • 变限积分
      • 定义
      • 性质
    • 反常积分
      • 定义
      • 敛散性的判别
        • 比较判别法
  • 计算
    • 基本积分公式
    • 不定积分积分法
      • 凑微分法
      • 换元法
        • 换元要三换：被积函数、积分上下限、积分变量
        • 常用换元法
          • 三角函数代换
          • 恒等变形后作三件函数代换
          • 根式代换
          • 倒代换
          • 复杂函数的直接代换
      • 分部积分法 ∫udv＝uv-∫vdu
        • u，v的选取原则：反对幂指三 u← →v
      • 有理函数的积分
        • 定义
        • 积分方法
    • 定积分的计算
      • 牛顿-莱布尼茨公式
      • 华里士公式（点火公式）
      • 区间再现公式
      • 特殊函数都积分公式
        • 连续奇函数在对称区间上的积分公式
        • 连续偶函数在对称区间上的积分公式
        • 连续周期函数的积分公式
    • 变限积分的计算
      • 求导公式
      • 重要结论
        • 可积的奇函数的一切原函数都是偶函数
        • 可积的偶函数只有一个原函数是奇函数
        • 可积的周期函数的性质
    • 反常积分的计算
  • 应用
    • 几何应用
      • 平面图形的面积
        • 直角坐标系
        • 极坐标系
        • 参数方程
      • 旋转体的体积
        • 曲线f(x)绕x轴旋转
        • 曲线f(x)绕y轴旋转
        • 曲线f(x)绕定直线Ax+By+C＝0旋转
      • 函数的平均值
      • 形心坐标公式
      • 平面曲线的弧长
        • 直角坐标系
        • 极坐标系
        • 参数方程
      • 旋转曲面的面积（侧面积）
      • 平行截面面积已知的立体体积
    • 物理应用
      • 变力沿直线做功
      • 抽水做工
      • 静水压力
    • 积分等式和积分不等式
      • 积分等式
        • 用中值定理
        • 用夹逼准则
        • 用积分法
      • 积分不等式
        • 用函数的单调性
        • 用拉格朗日中值定理
        • 用泰勒公式
        • 用积分法
        • 用牛顿-莱布尼茨公式
• 多元函数微分学
  • 概念
    • 邻域
      • 邻域
      • 去心邻域
    • 极限
      • 二重极限
    • 连续
    • 偏导数
      • 偏导数定义
      • 高阶偏导数
    • 可微
      • 定义
        • 全增量 Δz＝f(x＋Δx,y＋Δy)－f(x,y)＝AΔx＋BΔy＋o(ρ)
        • 全微分 dz＝AΔx＋BΔy
      • 可微的必要条件
      • 可微的充分条件
      • 可微的判别步骤
  • 多元函数微分法则
    • 链式求导法则
    • 全微分形式不变性
    • 隐函数存在定理（公式法）
  • 多元函数的极值与最值
    • 概念
      • 极值
        • 极大值
        • 极小值
      • 最值
        • 最大值
        • 最小值
    • 无条件极值
      • 隐函数
      • 显函数
    • 条件最值与拉格朗日乘数法
    • 最远（近）点的垂线原理
    • 有界区域上连续函数的最值问题
• 二重积分
  • 概念
    • 积分区域 D
    • 被积函数 f(x,y)
    • 积分变量 x,y
    • 面积元素 dσ
  • 性质
    • 求区域面积
    • 可积函数必有界
    • 积分的线性性质
    • 积分的可加性
    • 积分的保号性
    • 二重积分的估值定理
    • 二重积分的中值定理
    • 对称性
      • 普通对称性
        • 积分区域D关于x＝a对称
        • 积分区域D关于y＝a对称
        • 积分区域D关于原点对称
        • 积分区域D关于y＝x对称
        • 积分区域D关于y＝-x对称
      • 轮换对称性
  • 计算
    • 直角坐标系
      • 后积先定限 限内划条线 先交写下限 后交写上限
      • 交换积分次序
    • 极坐标系
    • 极坐标系与直角坐标系的互相转化
      • x＝rcosθ y＝rsinθ
    • 换元法
      • 换元要三换：被积函数、积分上下限、积分变量
• 微分方程
  • 概念
    • 微分方程及其阶
      • 微分方程
        • 表示未知函数及其导数（或者微分）与自变量之间关系的方程
      • 微分方程的阶
        • 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数
    • 常微分方程
      • 未知函数是一元函数的微分方程
    • 线性微分方程
    • 微分方程的解
    • 微分方程的通解
    • 初始条件与特解
    • 用概念解题
  • 计算
    • 一阶微分方程的求解
      • 可分离变量型微分方程
        • 直接可分离
        • 换元后可分离
      • 其次型微分方程
      • 一阶线性微分方程
      • 伯努利方程（仅数学一）
      • 二阶可降阶微分方程（用换元法化为一阶方程）
    • 高阶微分方程的求解
      • 二阶常系数其次线性微分方程
      • 二阶常系数非齐次线性微分方程
      • n（n＞2）阶常系数齐次线性微分方程
      • 能写成欧拉方程（仅数学一）
    • 按类求解 对号入座
  • 应用
    • 几何应用
    • 物理应用