高数C下

包含向量与空间几何、多元函数的微元法及其应用、多元函数积分学及其应用、微分方程四章，全系本人自我创作，有手写图片上传和搜集来的资料图片，适用于高数C下册农学类，其他版本高数也可借此梳理学习层次。有笔迹圈点，介意者慎重，希望各位取得满意成绩。

高数C下

• 向量代数与空间解析几何
  • 向量代数
    • 向量运算
      • 线性运算
      • 数量积
        • a⊥b
          • a·b=0
      • 向量积
        • a∥b
          • a×b=0
    • 空间直角坐标系
      • 向量坐标表示
        • 向量的模
        • 方向角
        • 方向余弦
      • 空间两点间的距离
  • 空间解析几何
    • 空间直线及其方程
      • 空间直线方程
        • 点向式方程（标准方程）
          • 已知：一点以及直线方向向量
        • 参数方程
          • 点向式方程=t
            • x=x'+lt ......
        • 两点式方程
          • 已知：两点坐标
        • 一般方程
          • 两个平面的方程联立成方程组
            • 直线的方向向量可由两平面法向量叉乘得出
      • 应用
        • 两直线关系
          • 平行
          • 垂直
        • 两直线夹角
          • cosθ
        • 线面夹角
          • sinθ=cos<s,n>
        • 求对称点
    • 平面及其方程
      • 平面方程
        • 点法式
          • 已知：平面上一点以及该平面法向量 A（x-x'）+B(y-y')+C(z-z')=0
        • 一般式
          • Ax+By+Cz+D=0
            • A=0
              • 平行x轴
            • B=0
              • 平行y轴
            • C=0
              • 平行z轴
            • D=0
              • 过原点
        • 截距式
      • 应用
        • 两平面关系
          • 平行（重合）
            • 对应系数成比例
          • 垂直
            • AA'+BB'+CC'=0
        • 点到平面距离
          • d
        • 平面与平面夹角
          • cosθ
    • 空间曲面及其方程
      • 球面
      • 柱面
      • 旋转曲面
        • 旋转双叶双曲面
          • 有两个负号
        • 旋转单叶双曲面
          • 有一个负号
      • 其他二次曲面
        • 椭球面 椭圆抛物面 双曲抛物面 单叶双曲面 双叶双曲面 二次锥面
    • 空间曲线及其方程
      • 空间曲线方程
        • 一般方程
          • 两曲面相交
        • 参数方程
      • 应用
        • 曲线投影
          • eg.求在xOy上投影
            • 联立消去z，得到方程
            • 投影方程即为上述方程与z=0
• 多元函数的微元法及其应用
  • 二元函数
    • 判断是否存在极限
      • 左右极限是否相同
      • 以不同方向逼近，极限是否一致
    • 连续性
    • 全微分
      • 全增量（精确值）▲z=A▲x+B▲y+o(ρ)
      • 近似计算 ▲z=f(x+x',y+y')-f(x,y)≈f'ₓ(x,y)x'+f'ᵧ(x,y)y'=dz
    • • 可微则偏导存在
      • 偏导存在且连续，则可微
  • 多元复合函数与隐函数
    • 偏导数
      • 高阶偏导
        • 二阶偏导
          • 4个
            • A:xx
            • B:xy
            • yx
            • C:yy
      • 偏导数的应用
        • 空间曲线的切线与法平面
          • 空间曲线由参数方程表示
            • 1.求出交点坐标
            • 2.求各个未知量偏导函数：x't,y't,z't
              • 切向量s=(x't,y't,z't)
            • 3.切线方程
            • 4.法平面方程
          • 空间曲线由两平面相交表示
            • 1.可取x（y,z）为参数
            • 2.求切向量（可能有复合求导）
              • 若以x为参数，则x'=1 其他同理
            • 3.切线方程
            • 4.法平面方程
        • 曲面的切平面和法线
          • • s·n=0
          • 曲面由隐式给出
            • 隐式方程：F（x,y,z）=0
              • 1.切向量s
              • 2.法向量n
              • 3.切平面
              • 4.法线
          • 曲面由显式给出
            • 显式方程：z=f(x,y)
              • 需化作隐式：F（x,y,z）=f(x,y)-z=0
      • 梯度——导数
      • 方向导数——数
    • 多元复合函数的求导？
      • 分步
    • 隐函数求导法则p179
    • 多元函数极值
      • 判断
        • 有极值
          • f'x=0 f'y=0
            • 解为驻点（一导为零的点）
          • 导数不存在
      • 充分条件
        • AC-B*B
          • >0——有极值
            • A>0
              • 极小值
            • A<0
              • 极大值
          • <0——无极值
      • 最大值 最小值
      • 条件极值
        • 拉格朗日乘数法
          • 只能用于求驻点
      • 最小二乘法
• 多元函数积分学及其应用
  • 二重积分
    • 直角坐标系
    • 极坐标
    • 应用
      • 曲面面积的计算
  • 三重积分
• 微分方程 （带有导数的方程）
  • 初值问题（柯西问题）
  • 一阶微分
    • 可分离变量方程
    • 齐次微分方程
      • 换元
        • 令y/x=u
          • y'=u'x+u
    • 一阶线性方程
      • y'+p(x)y=Q(x)
        • 齐次
          • Q（x）=0
            • 可分离变量
        • 非齐次
          • Q（x）≠0
      • x'+p(y)x=Q(y)
      • 伯努利方程
        • y'+p(x)y=Q(x)yⁿ
    • 积分方程
      • 求导 恢复积分
    • 解的结构
      • y'+p(x)y=Q(x)
        • y₁，y₂为齐次方程的解
          • ky₁ (ky₂) , y₁+y₂ 都为齐次方程解
        • y₁，y₂为非齐次方程的解
          • y₁-y₂ 为齐次方程解
        • y₀为非齐次方程特解，y₁为齐次方程非零解
          • y₀+ky₁ 为非齐次方程通解
        • 可加性
  • 可降阶的二阶
    • 三种类型
      • • 只有x
      • • 有x也有y'
      • • 没有x，只有与y相关的
    • 解的结构
      • 二阶线性微分方程
        • y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)≠0
          • y₁，y₂是齐次方程的解
            • cy₁+cy₂ 是齐次方程通解
          • y₁，y₂是非齐次方程的解
            • y₁-y₂ 是非齐次方程解
          • y₀是非齐次方程特解，y₁，y₂是齐次方程两个线性无关解
            • y₀+C1y₁+C2y₂ 是非齐次方程通解
          • 可加性
      • 二阶线性常系数
        • 齐次
          • y''+py'+qy=0
            • 特征方程：r²+pr+q=0
              • 三种情况
        • 非齐次
          • y''+py'+qy=f(x)
            • 1.先求齐次解
            • 2.求非齐次解
              • 关注f(x)格式
                • 设y₀，用待定系数法