多元微分学知识点解析（期中期末补天）

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多元微分学

• 多元函数的概念
  • 平面区域与点集
    • （二维）邻域（包括二维去心邻域）
      • 子主题
    • 区域
      • 内点：属于邻域内的点称为内点
      • 边界点：其任一一邻域内有集合内部和外部的点
      • 聚点：所有的内点和非孤立边界点（任一一邻域内包含了无限多个集合中的点）
  • 多元函数的概念
    • 二元函数：
      • 几何意义：三维在一平面上的投影
    • 多元函数
  • 函数的极限
    • 相较于一元函数多了一个参数，可将二者组合为一个参量来处理
• 多元函数的偏导数与全微分
  • 多元函数的偏导数：求某一自变量的偏导数，就将其他自变量当作常数求导
    • 函数在某点偏导数存在，但是推到不出函数在这点连续
    • 函数在某点连续推到不出偏导数存在
    • 偏导数上下为一体，不可分开
  • 全微分：将相应的自变量所有存在的相关中间函数求导，然后同链相乘异链相加
    • 判断是否连续，该点的极限是否和真实值相等
• 多元复合函数的求导法则
  • 链式法则：同链相乘，异链相加
  • 一阶的全微分形式不变性：应变量的全微分可以写成中间变量的微分相加的形式
• 隐函数
  • 一个方程的处理方法：教材59页
  • 多个方程：运用克莱姆法则和雅可比行列式解决
  • 两种处理方法，均将所有的变量移动到一边构造函数解决
• 偏导数在几何上的应用
  • 切线和法向量
    • 将自变量分别求导，得出的结果为切线的方向向量（求中间变量得导数）
      • 找到平面上一点，将方向向量放在分母，可得法平面
      • 三个变量可将，一个用另外表示
      • 多个方程同样可以用克莱姆法则处理
  • 切平面和法线
    • 求相应自变量的偏导作为法线的方向向量（求因变量的偏导）
• 多元函数的极值和最值
  • 驻点：偏导均为零
    • 极值点:满足H=AC-B*B
      • H>0,A<0,为极大值
      • H>0,A>0,为极小值
      • H<0，不是极值点
      • H=0，不能判断
  • 最值点
    • 驻点
    • 边界点
    • 偏导不存在的点
  • 条件极值
    • 将条件函数带入所求函数解答
    • 拉格朗日乘数法
• 可微—>连续和可偏导；偏导数都存在—>可微
• y于x间的关系为某点以什么样的方式接近极限点,如果不同的关系有不同的极限，则极限不存在
• 所有边界点的集合叫做闭集
• 边界点的集合称为这个集合的边界
• 内点的集合E，称为开集