线性代数自制思维导图

介绍了矩阵的基本运算（如加法、减法和乘法）、矩阵的转置、矩阵的初等变换、线性相关与线性无关的概念、矩阵的逆（包括使用分块矩阵来计算）、矩阵的秩、矩阵的相似性、向量组的秩以及特征值与特征向量等多个重要主题。这些内容都是线性代数和矩阵代数中的核心概念，对于理解和应用这些数学工具至关重要。

线性代数

• 矩阵
  • 矩阵的运算
    • 加，减，乘
    • 转置
  • 矩阵初等变化
    • 一般情况是行变化
  • 逆矩阵
    • 矩阵初等变化求矩阵
    • inv(A)=A*/|A| 分块矩阵除A的行列式求逆矩阵
  • 分块矩阵
    • 注意符号的判断
  • 矩阵的秩
    • 转化为最简阶梯型
• 行列式
  • 求行列式
    • 二阶
    • 三阶
    • 多阶
      • 注意前面符号
  • 行列式的性质
    • 行列式两行相互交换结果相差互为相反数
    • 行列式如果一行都为k的倍数，k可以提出
    • 一行的k倍加到另一行上行列式数值不变
    • 行列式两行相等或为倍数，结果为0
  • 行列式判断法
    • 行列式为0
      • 矩阵组成的方程有无穷多解或无解
      • 矩阵中向量线性相关
    • 行列式不为0
      • 矩阵组成的方程组有唯一解
      • 矩阵中向量线性无关
• 特征值与特征向量
  • 特征向量组的迹 = 所有特征值
  • 求特征值和特征向量
  • 矩阵的相似对角化
    • 求矩阵Q
  • n维向量空间的正交
    • 内积
    • n维向量的正交化
    • n维向量正交化后单位化
• n维向量空间
  • 向量组的线性相关性
    • 线性相关
      • k存在非0解使得向量组为0
    • 线性无关
      • k全为0使得向量组才为0
  • 向量组的秩
    • 和矩阵相似
  • 基础解系
    • 相当于坐标轴基底
  • 通解
    • 齐次线性方程组通解
    • 非齐次线性方程组通解