概率论与数理统计第三章 多维随机变量及分布

概率论与数理统计思维导图，介绍了二维随机变量的基本概念，详细阐述了联合分布函数的定义、性质以及计算方式。联合分布函数F(x,y)是一个二元函数，表示随机变量X小于等于x且Y小于等于y的概率。它具有几个重要性质，包括非负性、单调非减性和右连续性。还讨论了二维随机变量的边缘分布函数，即X和Y各自的分布函数FX(x)和FY(y)，这些函数可以由联合分布函数通过取极限的方式得到。

第三章 多维随机变量及分布

• 3.1 二维随机变量及其分布
  • 定义
    • 设随机试验的样本空间为S = { e }，而X =X ( e )，Y = Y ( e )是定义在S上的两个随机变量，称（X，Y )为定义在S上的二维随机变量或二维随机向量.
  • 联合分布函数
    • 设（X，Y）是二维随机变量，对任意实数x，y，二元函数 F ( x , y ) = P { X ≤ x )， Y ≤ y } 称为二维随机变量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数.
  • 联合分布函数的性质
    • （1）0 ≤F ( x , y ) ≤ 1，且 对任意固定的y，F ( -∞ , y ) = 0 ; 对任意固定的x，F ( x , - ∞ ) = 0 ; F ( -∞ ,- ∞) = 0，F ( +∞ , +∞ ) = 1 （2）F ( x ,y）关于x和y均为单调非减函数，即： 对任意固定的x，当y 2 > y 1 , F ( x , y 2) ≥ F ( x , y 1 ) . 对任意固定的y，当x2 > x1,F ( x 2, y ) ≥ F ( x 1 , y ) （3）F ( x , y )关于x和y均为右连续，即： F ( x , y ) = F ( x + 0 ,y )， F ( x ,y ) = F( x ,y + 0 ) .
  • 边缘分布函数
    • X和Y各自的分布函数F X ( x )和F Y ( y )称为随机变量X和Y的边缘分布函数.且 F X ( x ) = P { X ≤ x } = P { X ≤x，Y≤y } = F ( x , + ∞) , F Y ( y ) = P { Y ≤y } = P { X < + ∞ ,Y ≤y } = F ( +∞, y )
  • 二维离散型随机变量及其概率分布
    • 定义：P { X = x i ,Y = y j } = p i j ( i , j = 1 , 2 ,…) 为（X，Y）的（联合）概率分布（或称为分布律）.
    • 边缘概率分布：
  • 二维连续型随机变量及其概率密度
• 条件分布与随机变量的独立性
  • 条件分布与独立性概念
    • 条件分布：设X是一个随机变量，其分布函数为F X( x ) = P { X ≤x }，称 F ( x \A ) = P { X≤x \ A } 为在事件A发生的条件下，X的条件分布函数.
    • 独立性：若对任意实数x，y，有F ( x , y ) = F X( x )· F Y ( y )，则称随机变量X和Y相互独立.此时，联合分布可由边缘分布唯一确定. 定理1 X和Y相互独立⇔ X所生成的任何事件与Y所生成的任何事件独立，即对任意实数集A，B，有 P { X ∈ A ,Y ∈ B } = P { X ∈A } P { Y ∈ B }。 定理2 若X和Y相互独立，则对任意函数 g₁ ( x )，g₂( y )均有g₁( X )，g ₂( Y )相互独立.
  • 离散型随机变量的条件分布与独立性
    • 条件分布：当P { Y = y j } ＞0时，称 P { X = xi \ Y = y j } = p i j \ p·j , i = 1 , 2 , … 为在Y = y j条件下随机变量X的条件概率分布.
    • 独立性：若对（X，Y）的所有可能取值( x i , y j )，有 p i j = p i · p ·j , i , j = 1 , 2 , … 则称X和Y相互独立.
  • 连续型随机变量的条件密度与独立性
    • 条件分布：对一切使f X ( x ) > 0的x，称 f Y \X ( y \ x ) = f ( x , y ) \ f X ( x ) 为在X = x的条件下Y的条件概率密度.
    • 独立性：若对任意的x，y，有 f ( x , y ) = f X ( x ) ·f Y ( y ) 几乎处处成立，则称X和Y相互独立.