线性代数考研

基于25张宇基础30讲线代部分做的小总结，讨论了行列式的三类定义、七个性质以及重要行列式的计算。介绍了具体型行列式和抽象型行列式的计算方法。区分了齐次线性方程组和非齐次线性方程组，并讨论了它们的解的性质，涉及了二次型的定义、矩阵表达式、合同变换、二次型的合同标准型、规范型以及惯性定理。涵盖了线性代数的主要概念和重要知识点，从基础的行列式、矩阵、向量组到考研线性代数的深入内容，形成了一个完整的知识网络。这些信息对于学习线性代数的人来说非常有价值。加强对知识点的回顾记忆！

考研线性代数

• 第一章行列式
  • 行列式的三类定义
    • 几何类
      • n个向量n维图形的体积
    • 逆序数法
      • 排列
      • 逆序
      • 逆序数
      • n阶行列式定义
    • 余子式展开定理
      • 余子式
      • 代数余子式
      • 展开公式
  • 行列式七个性质
    • 行列互换值不变（转置）
    • 一行（列）元素全为0则行列式为零
    • 倍乘，提取公因子k
    • 两行（列）互换，行列式变号
    • 某行（列）元素均是两数之和，可分解
    • 俩行（列）元素对应成比例，行列式为零
    • 倍加，某行（列）k倍加到另一行（列），行列式不变
  • 重要行列式
    • 主对角线行列式（上（下三角形行列式））（y=-x）
    • 副对角线行列式（y=x）
    • 拉普拉斯行列式
    • 范德蒙德行列式
  • 具体型行列式的计算
    • 化为基本形
    • 递推法
    • 行列式表示的函数与方程
  • 抽象型行列式的计算
  • 余子式和代数余子式的线性组合的计算
    • 余子式系数替代行列式对应数生成新行列式计算
  • 克拉默法则
    • xi=DI/D，i=1.2.3...n
• 第二章矩阵
  • 矩阵的本质
  • 矩阵的定义及其基本运算
    • 注意矩阵数乘与行列式数乘区分
    • 转置矩阵基本运算
    • 方阵的行列式
      • 矩阵不为0推不出行列式是否为0
    • 几种重要矩阵
      • 零矩阵
      • 单位矩阵
        • 主对角元素均为1，其他均为0的n阶单位矩阵，记为E
      • 数量矩阵
        • kE，k为常数
      • 对角矩阵
        • 非主对角元素均为0的矩阵
      • 上（下）三角矩阵
      • 对称矩阵
        • A转置矩阵等于A的矩阵
      • 反对称矩阵
        • aij=-aji，aii=0
      • 行矩阵
      • 列矩阵
      • 分块矩阵⭐
  • 矩阵的逆
    • 逆矩阵的定义
      • AB=BA=E，A行列式不为0
    • 逆矩阵的性质与重要公式
    • 用定义法求可逆矩阵的逆矩阵
      • 定义法
      • 化成可逆矩阵的乘积，可逆矩阵乘积是可逆矩阵
  • 伴随矩阵
    • 伴随矩阵的定义
      • 代数余子式呈转置形式展开
    • 性质与重要公式
      • 矩阵与它的伴随矩阵乘积是行列式的值
        • 其他的都能推导
      • 当A可逆时，A的伴随矩阵与A的逆矩阵只差了一个非零的倍数
    • 用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵
    • 求伴随矩阵
      • 定义
      • 公式
  • 初等变化与初等矩阵
    • 初等变换
      • 倍乘，互换，倍加
    • 初等矩阵的定义
      • 经过一次初等变换得到的矩阵
        • Ei（k）
        • Eij
        • Eij（k）
    • 初等矩阵的性质与重要公式
      • 初等矩阵转置还是初等矩阵
      • 初等矩阵的行列式的值，都是可逆矩阵，它的可逆矩阵与原矩阵什么关系
      • 可逆矩阵能表示成有限个初等矩阵的乘积
      • 左乘行变换，右乘列变换
    • 行阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵
    • 用初等变换求逆矩阵的方法
      • （A/E）—（E/A）
    • 简单分块矩阵的逆
      • D左乘同行，右乘同列
  • 矩阵方程
    • 含有未知矩阵的方程
  • 等阶矩阵和矩阵的等阶标准形
    • 矩阵与初等变换后矩阵等阶
    • 等阶标准形
      • （Er 0 0 0）
  • 矩阵的秩
    • 定义
      • 子主题
    • 求法
      • 初等行变化成行阶梯形矩阵，非零行数为秩
    • 有关秩的几个重要式子
• 第三章向量组
  • 向量组的本质
  • 向量与向量组的线性相关性
    • 向量定义
    • 向量内积与正交
      • a转置与b乘积，为0则正交
    • 正交矩阵
      • aTa=E
    • 线性概念
      • 线性组合
      • 线性表示
      • 线性相关与线性无关
    • 判别线性相关性的七大定理
      • 向量组线性相关充要条件是向量组至少一个向量可由其他n-1个向量线性表示
      • 向量组a1，2..an线性无关，加了个b则线性相关，则b可有那些a线性表示，且表示法唯一
      • b12-t可由a12-s线性表示，t>s，b线性相关（以少表多，多的相关）
      • 向量组线性相关，则它的秩小于列向量个数，
      • b可由a表示，则b/a的秩等于a的秩
      • 向量组部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关
      • 一组n维向量线性无关，则再延长也是无关
    • 极大线性无关组
      • 就是类似与基底，i，j，k，线性无关
    • 等价向量组
      • 能够互相线性表示，要同维，r1=r2=r12
    • 等价矩阵
      • 要求同型，行数列数相等
    • 向量组的秩
    • 有关秩的重要公式与定理
    • 施密特正交化
      • 推导见向量空间章节最后讲解
    • 向量空间（数一要求）
• 线性方程组
  • 线性方程组与向量组其实是一回事
  • 齐次线性方程组
    • 有解条件
      • 唯一零解
      • 无穷多解
    • 解的性质
      • 即解可以叠加
    • 基础解系
      • 是Ax=0的解
      • 线性无关
      • S=n-R（A）
    • 通解
      • 基础解析k叠加
    • 求解方法与步骤
      • 化行阶梯形矩阵
      • 求s=n-r，即自由未知量
      • 未知量可以设成1，简单为主
      • 带入化简
  • 非齐次线性方程组
    • 有解的条件
      • 无解
      • 唯一解
      • 无穷多解
    • 解的性质
      • 两个非齐次解相减等于齐次线性方程组的解，齐次方程解乘k+特解即为非齐次方程的解
    • 求解方法与步骤
      • 先求齐次对应解
      • 再套用自由未知量求特解，这时未知量为方便常取0
  • 两个方程组的公共解
    • 求出一个方程组基础解系，代入另一个方程组
    • 两个方程矩阵堆在一起，求基础解系，即公共解
  • 同解方程组
    • 3秩相同
• 特征值与特征向量
  • 特征值与特征向量
    • 特征值与特征向量的定义是什么
    • 特征值与特征向量求法
    • 特征值的重要性质
      • 怎么判断x是否是特征值
      • 设n阶矩阵有n个特征值
        • 该矩阵的行列式怎么求
        • 该矩阵主对角元素与特征值关系
    • 特征向量的重要性质
      • 特征值不同，那么它们对应特征向量关系是什么
      • 同一特征值，对应2个不同特征向量，它们线性叠加仍是特征向量
        • 同一特征值，若有2个不同特征向量，那么它们线性相关与线性无关情形是什么
      • 不同特征值，对应特征向量不同，且线性叠加也不是它们之间对应的特征向量
    • 常用矩阵的特征值与特征向量
      • 已知原矩阵的特征值与特征向量，这里要注意多项式，逆矩阵，伴随矩阵，左乘逆矩阵右乘矩阵它们分别对应的特征值与特征向量。
  • 矩阵的相似
    • 定义
      • PAP逆，对应矩阵相似
    • 性质
      • 行列式，特征值，主对角线元素之和，秩，相等
    • 重要结论
      • 与特征值，特征向量变换对比，A矩阵变换对应伴随，多项式等是否相似
  • 矩阵的相似对角化
    • 首先A是对角矩阵，入是相似标准型
    • 求法
    • 条件
      • n个不同特征值
      • 实对称矩阵
      • 满足对应S=n-R，其中R是入E-A的秩，S是入对应重根数量
  • 实对称矩阵的相似对角化
    • 性质
      • 转置与原矩阵相同
      • 不同特征值对应特征向量相互正交
        • 特征向量最低程度至少也是线性无关，是普通矩阵相似对角化的加强版
    • 相似对角化的基本步骤
      • 先求特征值
      • 再求对应特征值对应特征向量
      • 将特征向量正交化
      • Q矩阵就是正交化向量集合的正交矩阵
  • 施密特正交化
    • 什么时候使用施密特正交化
      • 当要求正交矩阵时，若特征值有重根，则重根特征值对应特征向量需要施密特正交化
• 二次型
  • 二次型的定义与矩阵表达式
    • 对称矩阵
  • 合同变换，二次型的合同标准型、规范型
    • 线性变换的定义
      • 通过可逆线性变换得到一个新二次型
    • 矩阵合同的定义，性质
      • 存在可逆矩阵C，A左乘C转置右乘C得到B，则A与B合同
      • 矩阵合同，秩相同，等价，
    • 二次型的标准型，规范型
      • 一般型
        • 含有交叉项
      • 标准型
        • 只含平方项
      • 规范型
        • 标准型中的系数d只能取-1.0.1。
    • 二次型化标准型，规范性两种方法的区分
      • 配方法
        • 对应C列向量不一定是特征向量，di也不一定是特征值，因为左乘的是C转置不一定等于C逆
      • 正交 变换法
        • Q列向量一定是特征向量，系数为特征值
  • 惯性定理
    • 将二次型化成标准或规范型，无论怎么线性可逆变换，正项个数p，负项个数q都是不变的，p为正惯性指数，q为负惯性指数，秩r=p+q
    • 两个二次型（或实对称矩阵）合同的充要条件是有相同的正负惯性指数，或相同的秩，又或者是相同正负特征值个数
    • 掌握配方法和正交变换法的区分及具体如何使用（题型考点）
  • 正定二次型及其判别
    • 对任意x1，....xn不等于0，均有x转置Ax>0，则称f为正定二次型
    • 充要条件
      • 定义
      • f正惯性指数=n，n为未知数数量
      • 存在可逆矩阵D，A=D转置D（偏理论）
      • A合同E
      • A特征值大于0
      • A的全部顺序主子式大于0
    • 判别条件
      • 先证明A等于A转置，再证充要条件