高等数学（下）

这是一篇关于高等数学（下）的思维导图，主要内容包括：多元函数积分学，向量代数与空间解析初步，多元函数的基本概念与极限。

高等数学（下）

• 多元函数的基本概念与极限
  • 区域的概念
    • 平面点集领域
    • 区域
      • 开集
      • 开区域
        • 连通的开集
        • 开区域一定是开集
        • 开集不一定是开区域
      • 边界
      • 聚点
      • 连通集
      • 内点
      • 有界集，无界集
    • n维空间
  • 多元函数的概念
    • 定义
      • x,y为自变量；z为因变量；点集D为函数的定义域
      • z=f（x,y）（x,y）∈D
    • 二元函数的几何意义：其图形是一张曲面，定义域恰好是该曲面在xoy面上的投影区域
  • 二元函数的极限与连续性
    • 二元函数的极限
      • 定义
      • 极限是否存在
      • 二重极限的计算
    • 二元函数的连续性
    • 多元连续函数
      • 多元连续函数的和，差，积，商均为连续函数；多元连续函数的复合函数也是连续函数
      • 多元初等函数
  • 有界闭区域上多元连续函数的性质
    • 最大值和最小值定理
    • 有界性
    • 界值定理
• 多元函数积分学
  • 重积分
    • 二重积分
      • 概念和性质
      • 计算
    • 三重积分
      • 计算
        • 截面法
        • 柱坐标系
    • 应用
  • 曲线积分
    • 第一型曲面积分
      • 概念：对面积的曲面积分
      • 计算
    • 第二型曲面积分
      • 概念：对坐标的曲面积分
      • 计算
        • 直接投影法
        • 转换投影法
    • 高斯公式
      • 条件：闭曲面，曲面为外侧，偏导连续
      • 注意事项：边界曲面，去外侧，若为内侧，公式 中加负号 不封面，补面
• 向量代数与空间解析初步
  • 向量代数
    • 向量的概念（向量，模，单位向量，零向量，自由向量，相等向量，负向量）
    • 向量的线性运算
      • 加法交换律：a+b=b+a，结合律：(a+b)+c=a+(b+c
      • 减法：a-b=b-a
      • 数乘运算:k(a+b)=ka+kb,(k+λ)a=ka+λa
    • 向量的坐标表示
      • OP=OP'+pp=xī+yj(+zk)=(x,y,(z))
      • 代数运算：①a²+b²=(ax+bx,ay+by,az+bz) ②λā=(λax,λay,λaz) ③a//b<=>b=λa<=>ax/bx=by/ay=bz/az,a⊥b<=>a∙b=0 ④若OM=(x,y,z).则|0M|=√(x²+y²+z²) ⑤两点间距离=N(x₂-x)²+(y₂-y)²+(z₂-z),² ⑥方向角 cosɑ,cosγ,cosβ
      • 投影 Prju(a²+b²)=Prjua+Prjub Prju(λu)=λPrjaa PrjuAB=|AB|cosθ向量的坐标表示
    • 向量的数量积
      • 定义：ab=cosθ
      • 坐标表示：a∙b=|i|²ax∙bx+|j|²|ay∙by+|k|²az∙bz
      • 夹角：cosθ=a∙b/|a||b|
    • 向量的向量积
      • 定义：方向C⊥a,C⊥b大小|a×b|=|a||b|sin<a,b> a∥b<⇒a×b=0(θ=0或π)
      • 几何:以a,b为邻边的平行四边形面积
  • 空间平面
    • 平面方程
      • 平面方程A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-20)=0
      • 一般式：Ax+By+Cz+D=0
      • 截距式：x/a+y/b+z/c=1
    • 曲面，空间曲线
      • 曲面方程：柱面，旋转曲面，球面，锥面，二次曲面
      • 曲线方程：一般方程：F(x,y,t)=0，G(x,y,z)=0
      • 参数方程：x=x（t），y=y(t)，z=z（t）