25考研数二第一章

整理了函数极限的定义及基本性质、 无穷小量及其等价、 函数极限的计算等知识，便于理解和复习，持续更新……

第一章

• 函数、极限、连续
  • 第一节 函数极限的定义及基本性质
    • 考点1 函数极限的定义
    • 考点2 极限的基本性质
      • 唯一性
      • 局部有界性
      • 局部保号性
        • 如何比较在x→xo时两个函数的大小
        • 已知极限正负性，求趋向过程中被求极限的正负性
  • 第二节 无穷小量及其等价
    • 考点1 无穷小量
      • 1、定义
        • 关系定理
        • 无穷大量×有界函数不一定是无穷大
        • 无穷小量×有界函数＝无穷小量
      • 2、无穷小量比阶
        • 两函数相比极限——0高阶、∞低阶、1等价、A同阶
      • 3、常见等价无穷小
        • 使用规则：1、乘除可用 2、加减慎用（除非相除≠－1） 3、推广使用（ln、cos） 4、和取低阶原则（有限）
      • 4、高阶无穷小运算法则
        • 1、加减法的低阶吸收原则（不同阶） 2、乘法的叠加原则 3、数乘无关原则
      • 5、等价无穷小的重要条件
        • f(x)~g(x)↔g（x）＋o【g（x）】
    • 考点2 泰勒公式
      • 不要忘记高阶项
      • 展开原则：1、相消不为0原则 2、上下同阶原则
      • 泰勒麻烦的时候试试化简
  • 第三节 函数极限的计算
    • 考点1 洛必达法则
      • 法则一：0/0型
      • 法则二：∞/∞型
    • 考点2 极限四则运算
      • 1、加减法中都存在才可拆
      • 2、补项法
      • 3、非零因子可淡化（乘除法中非零因子可先算）
    • 考点3 七种未定式的极限计算
      • 定型→化简→定型
        • 0/0型：等价/泰勒/洛/四则
        • ∞/∞：洛/上下同阶最大项/抓大头
        • 0×∞：0/0,∞/∞
        • ∞-∞：通分/令x=1/t，提矛法
        • 1^∞：e^幂（底-1）
        • ∞^0，0^0:幂指转换
    • 考点4 左右开弓法
      • 1、e^∞
      • 2、arctan∞
      • 3、l*l
      • 4、取整【x】
      • 5、分段函数
    • 考点5 已知极限求待定参量
      • 本质还是求极限
    • 考点6 已知极限求另一个极限
      • 方法一：找两个极限之间的关系，去凑
      • 方法二：万能方法：关系定理——反解函数（写关系定理用等式计算出要求的）
  • 第四节 数列极限
    • 考点1 数列极限的定义
      • 1、从大N开始之后所有的数都趋向于A
      • 2、数列极限只有一种趋向形式
      • 3、{Xn}收敛于A则所有的子数列都收敛于A
      • 4、n→∞，Xn→A——lXnl→A
    • 考点2 数列极限的性质
      • 1、唯一性 2、有界性
      • 3、保号性（存在正整数N＞0，当n＞N）
    • 考点3 数列极限的计算
      • 连续化处理
        • n→∞、n√a＝1、n√n=1
      • 夹逼准则
        • 定义
        • 放缩方法
          • 1、放缩分母，使得分子可加
          • 2.已知Ai＞0，M≤A1+……≤nM
          • n→∞ n√a^n+b^n+c^n=max（a b c）＞0（有时需要画图判断最大）
      • 单调有界必有极限
        • 标志：递推公式——证明极限存在
          • 1、有界性
          • 2、单调性
            • 做差与0比
            • 做比与1比
          • 3、求极限
        • 重要不等式：
          • 1、a+b≥2√ab
          • 2、当0＜x＜Π/2时：tanx＞x＞sinx
          • 3、当x＞0时，x＞sinx
    • 考点4 连续与间断
      • 考点1 函数连续的判定方法
        • 1、连续的保号性
        • 2、连续的定义
        • 3、左右连续的定义
        • 4、连续的隐藏信息
      • 考点2 函数连续的结论
        • 1、初等函数有定义就连续
        • 2、连续可以四则运算
        • 3、复合函数的连续性
      • 考点3 函数的间断点及其分类
        • 第一类间断点
          • 可去间断点
            • 这一点极限不等于这一点函数值
          • 跳跃间断点
            • 左右极限不相等
        • 第二类间断点
          • 无穷间断点
            • 左/右极限等于无穷
          • 震荡间断点
            • 左/右极限不唯一
              • y＝xsinx在∞时无界（趋于∞不唯一 y＝1/xsin1/x在0时无界（不唯一）
        • 间断点的求解
          • 1、找可疑点、无定义点、分段函数分段点
          • 2、求极限并做判断
• 1、f（x）在【ab 】连续，在a右连续，在b左连续，（a b）连续 2、连续→有定义
• 注：√x^2=lxl分左右 x→0 xlnlxl=0
• 四化：1、非零因子要淡化 2、加减法中存在可拆项 3、根式有理化 4、幂指函数幂指转化
• 注： ヨ×ヨ=ヨ 不ヨ×ヨ=未知 不ヨ×不ヨ=未知
• 注： ヨ±ヨ=ヨ 不ヨ±ヨ=不ヨ 不ヨ±不ヨ=未知
• 注：除了非零因子，不可局部代入先算出极限
• 注：当x→∞时：lnx≤x^a≤a^x≤x^x